资本配置线的斜率。

d. 当一个投资者的风险厌恶程度a＝5时，应在股票基金a、b和国库券中各投资

多少？

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第8章最优风险资产组合

185

8.4 马克维茨的资产组合选择模型

证券选择

我们可在多种风险证券和无风险资产中间进行资产组合的构造。在两种风险资产

的例子中，问题分为三个部分，第一，我们要从可能的风险资产组合中识别出风险-收

益组合。第二，我们通过资产组合权重的计算，找出最优风险资产组合，此时有最大

斜率的资本配置线。最后，我们通过加入无风险资产，找到完整的资产组合。在详细

介绍这一过程之前，我们先做一概述。

第一步是决定投资者可能的风险-收益机会，它们用风险资产的最小方差边界

（minimum-variance frontier）来表示。这一边界表示为在给定期望收益的条件下，可

获得资产组合的最低可能方差的图形。在给定一组期望收益、方差和协方差数据时，

我们可以计算出任何有特定期望收益的资产组合的最小方差。对期望收益与标准差相

对应的点进行连接，就可以得到图8 - 1 0。

有效边界

最小方差边界

个人资产

全球最小方

差资产组合

图8-10 风险资产的最小方差边界

应该注意的是，所有单个资产都位于边界的内右侧，至少当我们允许通过卖空来

构造风险资产组合时是这样的。[1] 这告诉我们，风险资产组合只含单一资产是无效率

的，分散化投资将带来更高的收益和更低的标准差。

所有落在最小方差边界上，从全局最小方差资产组合往上都是可能的最优风险

收益组合，因而是最优的资产组合。落在全局最小方差以上的边界被称为有效率边界

（e fficient frontier）。因为对于所有低于最小方差边界的资产组合，都可以在它正上方

找到一个相同的标准差，但收益更大的资产组合，因此在全局最小方差边界以下部分

的资产组合是无效率的。

优化计划的第二部分涉及到无风险资产。和以前一样，我们寻找一条有最高酬报

与波动性比率的资本配置线（即有最陡斜率的资本配置线）。参见图8 - 11 。

最优风险资产组合p的资本配置线与有效率边界相切。这条线优于任一条可能的

线（虚线穿过了边界），资产组合p是最优风险资产组合。

最后，第三个问题是单个投资者要选择出最优风险资产组合与国库券间的资产组

合，这正是图8 - 8所作的。

现在让我们更详细地考察一下资产组合构造的每一部分。问题的第一部分是风

[1] 当卖空被禁止时，单个证券可能会落在边界上。例如，有最高期望收益的证券必定落在边界上。因为这

一证券代表唯一一种能获得如此高收益的方法，它一定也是最小方差时的收益。当卖空可行时，构造出

的资产组合可以获得更低的方差。这些资产组合非常典型地在低期望收益证券中拥有空头头寸。

186 第二部分资产组合理论下载

险-收益分析，资产组合的管理者需要资产组合中每一证券的期望收益的一组估计值

和协方差矩阵的一组估计值（在第五部分的证券分析中，我们将考察证券估价的技巧

和财务分析师所用的财务分析方法。现在，我们假设分析师已经通过努力得到了这些

数据）。

图8 - 11 有最优资本配置线的风险资产的有效率边界

假设资产组合计划是一年期的，因此所有的估计与一年期相匹配。我们的证券分

析涉及n种证券，以现在为起点，时间为零，我们观察这些证券的价格： p1

0，.，pn

0。

分析师估计出每种证券一年后（时间1）的期望价格：e(p1

1)，.，e(pn

1)，和这一时期

的期望股息e(d1)，.，e(dn)。期望收益率的集合可以通过以下公式计算得到。

各种证券的收益率的协方差（斜方差矩阵）一般是通过历史数据估算的，另一种

可以作为历史分析法的替代，也可以看作是其补充的方法是对所有证券可能的收益进

行情景分析。

现在资产组合经理已经拥有n个e(r)的估计值和nxn协方差矩阵的估计值，其中对

角线上是n个方差， i

2的估计，n2-n＝n(n-1 )个非对线角线上的元素为任两种证券收益

的协方差的估计值（你可以从表8 - 2中看到n＝2时的情况）。我们知道每个协方差会在

表中出现两次，因此准确地说我们有n(n-1 ) / 2个不同的协方差估计值。如果我们的资

产组合管理单位有5 0种证券，我们的证券分析师需要得到5 0个期望收益率的估计值、

5 0个方差的估计值和5 0x4 9 / 2＝1 255个不同的协方差估计值。这是一个令人生畏的工

作（下面的章节中我们会给出如何显著地减少这些估算工作的方法）！

一旦估算工作完成，任一个每种证券权重为wi的风险资产组合的期望收益和方差

都可通过协方差矩阵或以下公式计算得到：

( 8 - 9 )

( 8 - 1 0 )

在下一节，我们将向你展示一个利用表格计算的例子。

我们所提到的分散化的概念是古老的，“不要把你所有的鸡蛋放在一个篮子里”

这句俗语在现代财务理论出现前就已经存在很长时间了。直至1 9 5 2年，哈里·马克维

茨发表了资产组合选择的正式模型，揭示了分散化的原则，他因此获得1 9 9 0年诺贝尔

p

2 = wi

j =1

n.

wj

i =1

n.

cov(ri , rj )

e(rp) = wi

i =1

n.

e(ri )

e(ri ) =

e(pi

1 ) + e(di ) - pi

0

pi

0

有效边界

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第8章最优风险资产组合

187

经济学奖。[1] 他的模型是资产组合管理的第一步：确认有效率的资产组合集合，即风

险资产的有效边界。

全球最小方

差资产组合

风险资产的

有效边界

图8-12 有效率资产组合集合

风险资产组合集合背后最重要的思想是，在任一风险水平上，我们只对最高期望

收益的资产组合感兴趣。因此，边界是给定期望收益下最小方差的资产组合的集合。

实际上，两种计算风险资产组合的有效率集合的方法是一样的。这一点可以从图

解这些步骤中看出。图8 - 1 2显示了最小方差边界。

方形的点是方差最小化程序得出的结果，首先我们画出限制条件，即水平线代表

期望的收益水平。然后我们寻找每条水平线上最小的标准差（尽量靠左边的点）。当

我们针对不同水平的期望收益要求重复这一寻找工作时，最小方差边界的形状就显现

出来了。我们丢弃底部（虚线）部分，因为它没有效率。

另外一种方法是，我们画一条重直线代表标准差的限制，然后考察这条线上所有

的资产组合（有同样的标准差），找出最高的收益水平，即重直线上最高的资产组合。

重复以上的工作，画出不同的垂直线（代表标准差水平），画出不同的圆点，这些圆

点轨迹的上部就是有效率边界。

当以上步骤完成后，我们就有了份有效率资产组合的清单，因为最优化程序给出

的解包含资产组合中的权重wi、期望收益e(rp)和标准差

。

让我们重述一下资产组合经理已完成的工作，分析师的估算已经转化为期望收益

率的集合和一个协方差矩阵。这组数据被称为输入清单（input list），这组输入清单被

输入到优化程序中。

在我们开始第二步，即从边界集合中选择最优风险资产组合前，让我们考察一个

实际的情况。一些客户可能会要求增加限制条件。例如，许多机构禁止在任何资产上

拥有空头。对于这些客户，资产组合经理将给程序加入限制条件，即寻找有效率资产

组合时不考虑空头的情况。在这个特殊的例子中，单个资产有可能是有效率的风险资

产组合，例如，具有最高收益的资产可以是边界资产组合，因为没有卖空的机会，获

得收益的唯一办法是持有一项完整的风险资产组合。

除了卖空限制外，还存在其他的限制。例如，一些客户要求保证从最优资产组合

中得到一个最低水平的期望股息收益。在这种情况下，输入清单将增加期望股息收益

p

[1] harry, markowitz,“portfolio selection,”journal of finance, march 1952.

188 第二部分资产组合理论

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集合，d1，.， dn，最优化程序中将加入保证资产组合的期望收益等于或大于设想收

益水平d的条件。

资产组合经理可以根据不同客户的需求裁制不同的效率集合。当然，任一限制条

件都贴上价格标签，即加入额外的限制条件所获得的酬报与波动性比率将低于限制少

的资产组合。客户应意识到这一成本，特别是对于不是法律强加的限制。

另一类限制是由于道德上或政治上的原因，不对某些行业或国家进行投资，这被

称为社会责任投资（socially responsible investing），它必须承担低酬报与波动性比率的

成本。这一成本可被正当地视为对于隐含理由的贡献（尽管不是一个可减税的理由）。

8.5 一个表格模型

8.5.1 计算期望收益与方差

有许多软件包可用于生成有效率边界。我们将演示一下用微软e x c e l生成的模型。

e x c e l是现今为止这类软件中最好的，但它有资产数目方面的限制，不过通过一个简单

的e x c e l资产组合优化器，可以很清楚地显示出在更加复杂的“黑盒子”程序的计算过

程。你可以发现，即使在e x c e l中，有效率边界的计算也是极为简单的。

我们将运用马克维茨资产组合优化器来解决国际分散化的问题。表8 - 4 a是从第2 5

章得到的，“国际分散化”，它包含了平均收益、标准差和1 9 8 0 ~ 1 9 9 3年间七个国家股

票指数收益率的相关系数矩阵。假定在1 9 7 9年，国际资本管理公司（i c m）的分析师

们得到了这份输入清单。作为国际资本管理公司的资产组合经理，有效率的资产组合

有哪些呢？

把表8 - 4 a输入到表格中后，我们用关系斜方差c o v (ri，rj)＝

j得到了表8 - 4 b中

的加边方差矩阵。表的上半部为公式，下半部为数字结果。

我们准备数据计算有效率边界。为了建立一个标准来评价有效率资产组合，我们用

相同的权重，即每个国家的权重都一样，等于资产组合的1 / 7＝0.142 9。这些权重被输

入到a 5 3 ~ a 5 9和b 5 2 ~ h 5 2的范围中。[1] 我们可以在表8 - 4 c中的b 7 7单元进行计算。这一

单元的输入等于协方差矩阵中每一元素的和，协方差矩阵中的每一元素乘以资产组合的

权重[ 2 ]。我们还用两个单元来计算等权重资产组合的标准差和期望收益（b 6 2、b 6 3中的

公式）。得出期望收益为1 6 . 5%，标准差为1 7 . 7％（在b 7 8和b 7 9单元之中的数字）。

为了计算有效率边界上的点，我们在表8 - 4 d中使用excel solver（你们在工具菜

单的插入中会发现这一工具）。一旦运行了s o l v e r，你会被要求输入目标函数所在单元

格。在我们的例子中，目标函数是资产组合的方差，被规定在b 9 3单元格中。s o l v e r

将最小化这个目标。下一步你必须输入决策变量的单元格的范围（在这个例子中包括

资产组合权重，在b 8 5 ~ b 9 1单元中列出）。最后，你输入所有必须的限制条件。对于

一个允许卖空的无限制的有效率边界有两个约束条件：第一，权重之和等于1（单元

a 9 2＝1）；第二，资产组合期望收益等于目标平均收益。我们选择了与等权重资产组

合下的收益相等的收益率1 6 . 5%，所以第二个限制条件为b 9 5单元＝1 6 . 5。在输入两个

限制条件后，就可以要求s o l v e r找出最优的资产组合权重了。

当s o l v e r找到解时，会发生声响，并自动调整在8