率
实际上，我们可以解释得更细致些，将1 5 - 1式与1 5 - 2式合并，我们有
8 4 1 . 7 5＝1 000/(1.08x1 . 1 0 )＝1 000/(1＋y2)2
所以
( 1＋y2)2＝1 . 0 8x1 . 1 0
1＋y2 ＝( 1 . 0 8x1 . 1 0 )1 / 2＝1 . 0 8 9 9 5
同理有，
1＋y3 ＝[ ( 1＋r1) ( 1＋r2) ( 1＋r3) ]1 / 3
和
1＋y4 ＝[ ( 1＋r1) ( 1＋r2) ( 1＋r3) ( 1＋r4) ]1 / 4 ( 1 5 - 3 )
余此类推，可见到期收益率实际上是每一时期利率的平均值。但由于复利的因素，
使得这种关系不是算术平均值，而是几何平均值。
15.1.2 持有期回报
表1 5 - 2中的四种债券一年持有期的回报各为多少？也许你会以为较高收益率的债
券提供的一年回报率也较高，但情况并不是这样。在一个简单的没有不确定性因素的
世界中，任何期限的债券一定会提供同一的回报率。否则的话，提供较低回报率的债
券将不再有投资者，它的价格将下降。实际上，尽管它们有不同的到期收益率，每一
种债券提供的未来一年的回报率将等于这一年的短期利率。
为证明这点，我们做个各债券到期利率的计算。一年期债券今天的价格为9 2 5 . 9 3
美元，一年后的本息为1 000美元。由于这是零息票债券，所以总收入只有1 000美元
9 2 5 . 9 3美元＝7 4 . 0 7美元。回报率为7 4 . 0 7美元/ 9 2 5 . 9 3美元＝8%。二年期债券今天的价
格为8 4 1 . 7 5美元，明年的利率上升为1 0%，债券还只剩一年就到期，一年后它的卖价
应为1 000 美元/ 1 . 1 0＝9 0 9 . 0 9美元。因此，持有期的回报率为( 9 0 9 . 0 9美元-8 4 1 . 7 5美
元) / 8 4 1 . 7 5美元＝8%，你看，还是8%的回报率。同样的，三年期债券今日购买价为
7 5 8 . 3 3美元，一年后售出价为1 000 美元/ ( 1 . 1 0x1 . 11 )＝8 1 9 . 0 0美元，其回报率为
（8 1 9 . 0 0美元-7 5 8 . 3 3美元）/ 7 5 8 . 3 3美元＝0 . 0 8，仍是8%的回报率。
概念检验
问题1：证明四年期债券回报率仍为8%。
372 第四部分固定收益证券
下载
我们由此可知，如利率期限确定，且所有债券按公平价格销售，则所有债券的一
年期回报率相等。较长期债券的较高收益率仅仅反映了这样一个事实，即未来利率高
于当前利率及较长时期的债券在较高利率时期仍在继续生利。短期债券持有者只得到
较少的到期收益率，但他们可将其所得做再投资，或待今后利率上升时将其以前所得
“再投入”，以获得更高收益。最终，长期债券与短期但再投资两种策略的回报率在整
个持有期相等，至少在利率确定情况下是这样的。
15.1.3 远期利率
不幸的是，投资者不知未来年份的短期利率的变化情况，他们真正能够知道的是
报纸上列出的债券价格与到期收益率。他们能够从现有数据中推断出未来的短期利率
吗？
假设我们对未来三年的利率感兴趣，而掌握的资料仅限于表1 5 - 2的数据。我们来
比较两个投资方案的选择，见图1 5 - 4：
1) 投资于三年期零息票债券。
2) 投资于两年期零息票债券，两年后再将收入所得投资于一年期的债券。
3年投资
时间线
选择1：购买并持有3年
零息证券
选择2：购买2年零息证
2年投资1年投资
券再投资1年零息证券
图15-4 两个三年的投资方案
假定投资1 0 0美元，在方案1下，三年期零息票债券有一个9 . 6 6 0%的到期收益率，
我们的投资最后得到的本息为100(1.096 6)3＝1 3 1 . 8 7美元；在方案2的情况下，1 0 0美
元投资于两年期的债券，两年后得到本息为100(1.089 95)2＝11 8 . 8 0 美元，然后在第三
年再投资一年，其资金会再增长1＋r3。
在一个确定的世界中，这两种方案的最终结果是完全一样的。如果方案1优于方
案2，则没有一个人愿意持有两年期债券，则这种债券的价格将下降，它们的收益率
将上升。反之，如果方案2优于方案1，则无人愿意持有三年期债券。所以，我们可得
出结论：1 3 1 . 8 7美元＝11 8 . 8 0 美元( 1＋r3)，这即意味着( 1＋r3)＝1 . 11 ，或r3 ＝11%，这
就是三年期的利率，如表1 5 - 1所示。这样，我们获得三年期利率的方法就有效地解决
了确定条件下的方案比较问题。
更一般地说，以上的比较提供了一个三年期债券回报率与两年期债券的回报再投
资，其各自的总收益相等的策略：
1 0 0 ( 1＋y3)3＝1 0 0 ( 1＋y2)2( 1＋r3)
下载
第15章利率的期限结构
373
所以有1＋r3 ＝( 1＋y3)3/ ( 1＋y2)2。一般来说，在利率变化确定的情况下，可从零息
票债券的收益率曲线中推出未来短期利率的简便算法，其计算公式如下：
1＋rn ＝( 1＋yn)n/ ( 1＋yn－1)n－1 ( 1 5 - 4 )
式中n为期数，yn为n期零息票债券在第n期的到期收益率。
此式有一简单解释。等式右边分子的含义是n期零息票债券到期的总增长因素，
同理，分母的含义是n-1期投资的总增长因素。由于前者比后者的投资期限多一年，
其增长量的差别一定是将n-1年的回报再投资一年。
当然，当未来利率不确定时，如现实中的那样，无法推断未来“确定”的短期利
率。今天无人得知将来的利率是什么，我们至多能设想它的预期值，并与不确定性相
联系。但人们通常仍旧用1 5 - 4式来了解未来利率的收益率曲线情况。由于认识到未来
利率的不确定性，人们将以这种方式推断出的利率称为远期利率（forward interest
r a t e）而不是未来短期利率，因为它不必是未来某一期间的实际利率。
如果n期的远期利率为fn，我们可用下式定义fn
1＋fn ＝( 1＋yn)n/ ( 1＋yn－1)n－1
经整理有
( 1＋yn)n＝( 1+yn－1)n－1( 1+fn) ( 1 5 - 5 )
在这里，远期利率被定义为“收支相抵”的利率，它相当于一个n期零息票债券
的收益率等于(n-1 )期零息票债券在第n期再投资所得到的总收益率。如果在n期的点
利率等于fn，投资于n期的选择与先投资于(n-1 )期，然后再投资于下一期的选择，结
果是一样的。
需要指出的是，未来的实际利率并不必然等于远期利率，它只是我们今天根据已
有的资料计算得出的。甚至不必要求远期利率等于未来短期利率的预期值。这是一个
我们大大简化了的论点。在这里，我们强调的是远期利率在利率确定的条件下一定等
于未来短期利率。
15.2 期限结构的测度
到目前为止，我们的分析仅限于无违约风险下的零息票债券，由于它们的到期日
是给定的，只有单一支付，所以最易于分析。但在实际生活中，多数债券采用息票付
息方式，所以，我们需要从息票价格中发明一种计算现期利率与远期利率的方法。
1 5 - 4式与1 5 - 5式仅仅适合于零息票债券的远期利率计算，它们是在两种互相竞争
的投资策略结果相等的基础上推导出来的。如果在策略选择中也包括息票债券，就必
须要考虑投资期的付息与再投资问题，这会使问题复杂化。
如果息票利率不同，由此带来收益率不同，即便到期日相同也会使分析更为复杂。
例如，有两种债券，到期期限均为2年，每年支付一次息票，债券a的息票利率为3%，
债券b的息票利率为1 2%。还用表1 5 - 1中的利率，债券a的卖价为
( 3 0美元/ 1 . 0 8 )＋[1 030美元/ ( 1 . 0 8x1 . 1 0 ) ]＝8 9 4 . 7 8美元
在这一价格上，它的到期收益率为8 . 9 8%，债券b的售价为
( 1 2 0美元/ 1 . 0 8 )＋[1 120美元/ ( 1 . 0 8x1 . 1 0 ) ]＝1 053.87美元
在这一价格上，它的到期收益率为8 . 9 4%。由于债券b在利率较低时的第一年有一
较高的支付额，它的到期收益率也稍低。由于两种债券有相同的到期日但有不同的收
益率，我们可以得出结论，即与到期时间和收益相关的单一收益率曲线，不能适用于
所有的债券。
这一使用零息债券收益率曲线所产生的模糊结论，贯穿于我们分析的始终。我们
374 第四部分固定收益证券
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有时也称它为纯收益率曲线。我们的目标就是计算这一纯收益率曲线，即便在不得不
使用更一般的息票债券数据时也是如此。
得到曲线的技巧是把每一个息票支付看作一个独立的“微小”的零息票债券。这
样息票债券就变成许多零息票债券的“组合”。我们在前述章节也确实看到，大多数
零息票债券产生于从息票债券中剥离出的息票支付，再将其与许多其他到期日相同的
证券重组。通过决定这些“零息的”各自的价格，可得出单一支付债券的到期收益率，
从而得到纯收益率曲线。
举例说明这种技巧，假定有一1年期债券，每半年支付8%的利息，价格为9 8 6 . 1 0
美元；另一种1年期债券，每半年支付1 0%的利息，价格为1 004.78美元。为计算以后
两个半年的短期利率，首先要找出各自的支付现值，也即把它们当做微小的零息债券。
半年得到的1美元的现值为d1，一年时得到的1美元的现值为d2（d代表折现价值；有d1
＝1 / ( 1＋r1)，这里r1为前半年的短期利率）。这两种债券同时满足下式：
9 8 6 . 1 0＝d1x4 0＋d2x1 040
1 004.78＝d1x5 0＋d2x1 050
在每一等式中，债券的价格等于它所有现金流的折现值。解这组等式，有d1 ＝
0.956 94 ，d2 ＝0 . 9 11 37 。因此，如果r1是前半年的短期利率，则，d1 ＝1 / ( 1＋r1) ＝
0.956 94 ，所以r1 ＝0 . 0 4 5，d2 ＝1 / [ ( 1＋r1) ( 1＋f2) ]＝1 / [ ( 1 . 0 4 5 ) ( 1＋f2) ]＝0 . 9 11 - 3 7，所以，
f2 ＝0 . 0 5。因此，前半年的短期利率为4 . 5%，后半年的短期利率为5%。
概念检验
问题2：一面值10 000美元的半年期国库券售价为9 700美元。一每半年按4%利率
付息的一年期国库券售价1 000 美元。试计算前半年的短期利率及后半年的远期利率。
当我们分析多种债券时，这种计算方式就更困难了。困难的原因在于债券的数量
大、期限多样，也在于并非所有债券都能计算1美元的远期折现值。换句话说，定价
关系上有误差是明显的[1] 。但我们把这些误差看成是一些随机的偶差，这就可用统计
方法来推断收益率曲线中的远期利率模式。
为理解统计方法如何奏效，我们假定有多种债券，以i为指数，卖价为pi，债券i
在时间t的息票收益率与/或本金的现金流为c fi t，1美元在时间t的折现值，即我们试图
解出的零息票债券价格为dt。这样，对每一种债券我们有：
p1 ＝d1c f11＋d2c f1 2＋d3c f1 3＋.＋e1
p2 ＝d1c f2 1＋d2c f2 2＋d3c f2 3＋.＋e2
p3 ＝d1c f3 1＋d2c f3 2＋d3c f3 3＋.＋e3 ( 1 5 - 6 )