所列出的数字

并不是简单的“收益率”—它是“期望收益率“。这意味着“情景”的定义就是一

个由许多基本事件组成的复合事件（而事实上总是这样）。我们把事实简化，以使问

题变得容易入手。

在分析家们试图列示所有情景的概率分布时，他不仅需要确定每种情景下的收益

率，而且还需要确定到底应分为几种情景。这个过程通常被称作确定经济情景发生概

率及各种经济情形下的预期收益（条件期望），该预期收益率大致表现出了各经济背

景下的投资结果。一旦你对情况分析方法熟悉了之后，你就可以对任何概率分布构建

一个简单的情景分析。

a.1.1 期望收益

“如果实验（包括决策环境与决策）无限地重复，随机变量的均值将会是多少？”

随机变量的期望值就是该问题的答案，假如现在你面临一个投资决策，你的这个答案

就大致描述了投资后的收益结果。

注意，该问题本身是存在前提假设的，同时也是很抽象的。因为在实际生活中，

对某一特定经济环境所做的决策（即实验）往往不能重复，更谈不上“无限地重复”

了；所以它的成立是需要前提假设的。而就算实验被重复了许多次（而不是无限），

收益率的平均值也许并不是某次实验可能出现的结果，这就是为什么我们说其抽象的

原因。举个例子，假如某一投资项目的收益率分布为2 0%或-2 0%，它们的概率都为

0 . 5，直觉告诉我们，该投资决策不断重复之后将给我们带来接近于零的平均收益率。

但是在任何一期，投资都不可能产生收益率为零的结果。当投资决策只有一期时，

“期望收益”还会有用吗？

但我们一般还是采用期望收益来测度投资决策的回报。其中的原因有很多，其中

最重要的一条是因为尽管某一特定的投资决策只进行一次，决策者也将会在长时期内

作出许多（也许并不同）的投资决策。那么在这段时期内，收益的均值就会与所有单

746 第八部分附录

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独决策的期望收益平均值相当接近。另一个原因更显然，因为我们除了它以外还没有

更好的测度方法[ 1 ]。

表a - 1中各情景的发生概率描述了各种结果产生的概率。如果对安休瑟-布希公司

股票的投资可以重复好几次，那么2 0%的收益率就会在2 0%的时间内出现，3 0%的收益

率就会在5 0%的时间内出现，5 0%的收益率就会在3 0%的时间内出现。期望收益的定义

告诉我们计算期望收益率的方法为[ 2 ]：

e（r）＝0 . 2x0 . 2＋0 . 5x0 . 3＋0 . 3x0 . 5＝0 . 3 4 (或3 4%)

把每种情景标为i＝1 , 2 , 3，并利用和号. ，我们可以写出期望收益的公式：

e(r) = pr(1)r1 + pr(2)r2 + pr(3)r3

=.pr(i)ri3( a - 1 )

等式a - 1中期望的定义提示了随机变量的两个重要性质。首先，如果你在随机变量

i=1

上加一个常数，其期望值也会增加同样的常数。举例来说，如果在表a - 1的每种情景中

的收益率增加了5%，那么最后的期望值也会增至3 9%，读者可以用公式a - 1来验证这条

性质。另外，当我们把随机变量乘以一个常数之后，其期望也会改变同样的比例。如

果我们把各情景下的收益率都乘以1 . 5，那么e(r)就会变为1 . 5x0 . 3 4＝0 . 5 1 (或5 1%)。

第二，随机变量对其期望的偏差，即两者之间的差，也是一个随机变量。我们可

以利用表a - 1中的收益率ri为例，来定义其对期望的偏差：

di =ri -e(r)

那么d的期望值是多少呢？我们以e（d）来表示偏差的期望，通过考察a - 1式，我

们发现其必为零，因为

e(d ) =.pr(i)di =.pr( i)[ ri - e(r )]

=.pr(i)ri - e(r).pr(i)

= e(r )- e(r ) = 0

a.1.2 关于散布性质的指标

值域：假定表a - 1中的任一情景下的收益率都是确定的，即都将实现其预期收益

率。于是，可能出现的收益结果只能是2 0%、3 0%或5 0%，值域就是指随机变量可能取

值的最大值与最小值之间的差，在此例中即为5 0% -2 0%＝3 0%。很显然，对于随机变

量的散布性质来说，值域只是一种很粗糙的指标。对于此例来说，值域就更不适合了：

因为在各种情景下的收益率本身只是期望值，因此其真实的值域我们无从得知。有一

种值域的变体，称为内四分值域，我们将在后面的“统计指标”中进行介绍。

方差：对方差的一种解释是它测度了“预期的惊奇”。尽管该短语看起来有点矛

盾，但事实上并非如此。首先，我们可以把“惊奇”视为对预期的偏差，这里所说的

“惊奇”不是指“未能实现心中预期”后的心理感觉，而是量化为对于此偏差的方向

与幅度。

表a - 1中的例子说明投资于安休瑟-布希公司股票的预期收益率为3 4%，但是当我

们再次审视各情景下的收益率时，我们发现自己是注定要感到吃惊的，因为实现3 4%

的收益率的概率为零。然而，知道预期不会出现并不意味着我们肯定知道最终实现的

[1] 我们采用低于理想测度的另一事例为用到期收益率去测度债券的收益，到期收益率测度的是如果投资

债券持有到期时可以得到的回报率，以及如果息票利息可以在整个债券的生命期以同样的到期收益率

再投资时可以得到的回报率。

[2] 为了避免混乱，我们将以小数来表达。

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附录a 定量计算的复习

747

结果。“惊奇”中应该包含两种要素，它们分别是实际收益对预期偏差的方向与幅度，

因为它们是对随机变量不确定性的测度。所以，了解偏差的概率分布有助于理解我们

现在所面临的非确定性。

我们用预期收益来测度回报。从直觉来看，我们可以对偏差取期望，并用期望来

测度该随机变量的非确定性。然而在前一节中，我们已经看到偏差的期望必为零：当

正的偏差被其概率加权后，正好能被负的偏差抵消。为解决这个问题，我们可以用偏

差的平方来代替偏差，这样我们能保证它必为一个正数（当d本身为负时也是如此）。

我们现在可以把方差定义为收益率对其预期偏差的平方的期望。它是我们“惊奇”

或随机变量散布性质的一个指标。若以希腊字母

2来记方差，那么其正式的定义公式

为：

2(r)＝e(d2)＝e[ri -e(r) ]2＝.p r (i) [ri -e(r) ]2 ( a - 2 )

公式中每一项偏差的平方消去了符号的差异，于是就避免了正偏差与负偏差之间

的抵消作用。

在安休瑟-布希公司股票的例子中，股票收益率的方差为：

2(r)＝0 . 2 ( 0 . 2-0 . 3 4 )2＋0 . 5 ( 0 . 3-0 . 3 4 )2-0 . 3 ( 0 . 5-0 . 3 4 )2＝0.012 4

注意，如果你在随机变量之上加一个常数，其方差不会改变，这是因为此时式中

的期望值也变化了相同的常数，于是对预期的偏差没有改变。你可以利用表a - 1的数

字来验证这个结论。

然而，对随机变量乘以一个乘数以后，其方差将有所变化。设现在每个收益率都

乘以因子k，那么新的随机变量k r具有期望e（k r）=k e（r），因此k r的偏差为：

d (k r) =k r-e(k r) =kd (r)

如果每个偏差都乘以因子k，那么偏差的平方就相当于乘以k2，有

2(k r)＝k2 2(r)

总之，在随机变量上加一个常数并不会影响方差；但是当随机变量变化常数倍以

后，其方差的变化倍数就会是该常数的平方。

标准差：对方差的进一步研究发现，它的单位不同于期望收益。回想一下，为了

使所有偏差为正，我们利用了偏差的平方。这样就使方差的单位变成了“百分比平方”。

为了把方差单位重新转回至收益率百分比，我们就得到了方差的平方根。其实它就是

标准差，在安休瑟-布希公司股票的例子中，标准差即为：

= (

2)1 / 2＝(0.012 4)1 / 2＝0 . 111 4 ( 或11 . 1 4%) (a-3)

注意，如果你想得到标准差，你就必须先计算方差。标准差与方差提示的信息是

相同的，只不过采取了不同的形式而已。

我们已经知道加上常数r并不会影响随机变量的方差，当然，也就不会影响其标

准差。我们也知道了随机变量乘以一个常数后，其方差就会扩大该乘数的平方倍。从

式（a - 3）关于标准差的定义中可以看到，随机变量乘以一个常数后，其标准差就会

扩大该常数的绝对值倍，由于常数的符号在方差计算的平方过程中消去了，因此绝对

值是必须的。正式的，我们有：

（k r)＝|k|

(r)

你可以利用表a - 1中的数据验证一下。

方差系数：为了评价随机变量的散布程度，往往我们会把散布指标与其期望值进行

比较。标准差与期望之间的比值就称为方差系数。在安休瑟-布希公司股票的例子中：

c v =

/e(r) = 0 . 111 4/0.340 0=0.328 5 (a-4)

安休瑟-布希公司股票收益的标准差大概是期望收益的1 / 3。方差系数是否代表一

748 第八部分附录

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个较大的风险，这取决于其他投资项目方差系数的值。

但方差系数远非随机变量散布性质的理想指标。假设某一可能的随机变量具有零

期望。在这种情况下，不管标准差有多大，方差系数都将趋于无穷。很显然，这个指

标并不适用于任何情况。一般来讲，分析者必须根据手中特定的决策问题来挑选一个

关于散布性质的指标。在金融界，许多情况下我们一般考虑整体风险，此时标准差就

是较好的指标（对于某一单独的资产来说，我们使用本文中介绍的

指标）。

偏度：到现在，我们通过对平均“惊奇”（特定意义下）程度的描述，分析了一

些关于散布性质的指标。实际上标准差并不等于平均“惊奇”度，因为我们先把偏差

平方，然后再求偏差平方均值的方根，这样做就会加大对“大偏差”的权重。另外，

标准差也只是一个告诉我们关于偏差“预期”的指标。

许多决策者都认为期望值与标准差是随机变量最重要的两个统计量。但是，一

旦我们需要回答关于风险的另一个永恒的问题（风险是指随机变量对其期望的偏差）：

如果出现较大的偏差，是不是极有可能是正的？风险厌恶者比较担心负的偏差（即

“惊奇”），但标准差并没有把好情况与坏情况分离开来。如果某个随机变量具有易发

生的小的负偏差和不易发生但很大的正偏差，那么对于另一种具有相反特征的随机

变量（即具有易发生的小的正偏差和不易发生但大的负偏差）来说，许多风险厌恶

者都偏好于前者。因为不管怎么说，风险一般都被认为是发生灾难（大的坏结果）

的可能性。

能对好、坏结果可能性进行分离的一个指标是三阶矩。它仍然是建立在随机变量

对其期望的偏差d之上。如果把三阶矩记为m3，则有：

m3 ＝e(d3)＝e[ri -e(r) ]3＝.p r (i) [ri -e(r) ]3 ( a - 5 )

相对于小偏差来说，对每个d进行立方就强化了大偏差的程度。奇次幂仍能保持

其各自的符号。人们回忆起所有偏差加权（以发生概率为权重）之和为零，因为正负

偏差正好互相抵消。但现在当偏差的立方乘以各自的发生概率然后加和之后，较大的

偏差会占据优势。最终结果的符号会告诉我们究竟是正偏差明显（m3为正）还是负偏

差明显（m3为负）。

显然，之所以把偏度称为三阶矩，是因为在计算过程中我们使用了立方。同样的，

方差通常被称为二阶矩，因为我们通过平方得到了方差。

回到表a - 1中的投资决策。由于收益的期望值为3 4%，那么三阶矩就是：

m3 ＝0 . 2 ( 0 . 2 0-0 . 3 4 )3＋0 . 5 ( 0 .