两种意见，还争论不决，所以不能作最后断定。”华印椿编著《中国珠算史稿》，中国财政经济出版社，1987，第23页。

上述有关《数术记遗》是否为徐岳所作的纷争，肯定与否定的意见都有各自的依据，笔者不拟作更多的评述。笔者以为，不管《数术记遗》作者是否为徐岳，就《数术记遗》的来历和思想内容来分析，《数术记遗》的道教色彩相当浓厚，当出自道门术士之手。

《数术记遗》开卷就交待了此书的来历：余以天门金虎，呼吸精泉，羽檄星弛，郊多走马，遂负帙游山，跖迹志道，备历丘岳，林壑必过。乃于太山，见刘会稽博识多闻，偏于数术。余因受业，颇染所由。余时问曰：“数有穷乎？”会稽曰：“吾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生。余亦以此意问之。先生曰，世人言三不能比两，乃云捐梦与四维。数不识三，妄谈知十。犹川人士迷其指归，乃恨司方之手爽。未知刹那之赊促，安知麻姑之桑田。不辨积微之为量，讵晓百亿于大千。《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第535～538页。

从书中刘会稽刘洪，号会稽，汉代天文学家，撰有乾象历。提到的天目山隐者天目先生来分析，《数术记遗》的思想内容来自天目先生的传授。天门金虎，呼吸精泉，羽檄星弛乃道教炼养的常用术语，可见编撰者是一个奉道人士；《数术记遗》原属道教术数文献，这还可以从《数术记遗》原书典出南宋道藏得到有力旁证。

《数术记遗》现存最早的刻本乃南宋汀州鲍擀之所刻。鲍擀之于南宋嘉定五年（公元1212）撰文详细说明其从道观中发现此书的经过：自五季纷乱之后，筹学之书类多散逸，所是缀术三等数已亡失而不传。国家文治煨兴，经籍道备，徐岳《数术记遗》犹在《崇文总目》之数。及至中兴馆阁，收拾遗书，乃不复见。民间藏书之家亦无其本，则是筹学所缺者三书矣。余官中都丐外得请暇日，因至七宝山三茅宁寿观阅道藏中书目，乃见有《数术记遗》者，亟恳道士启其函而快读之。其书篇首言“余以天门金虎，呼吸精泉”谅此二语类道家之说，遂以见收，不然则无传矣。即就录之，以补筹经之阙。《数术记遗》鲍擀之后记，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第351页。

鲍擀之至七宝山三茅宁寿观阅道藏中书目，发现有一部未曾见过的筹算著作《数术记遗》书名，于是“亟恳道士启其函而快读之。”并“即就录之，以补筹经之阙。”从《数术记遗》曾入宋代《道藏》这一情况来看，《数术记遗》一书的道教归属不言而喻，《数术记遗》无疑是一部道教术数著作。

此外，从《数术记遗》的思想内容来分析，《数术记遗》列举了十四种不同的记数法，“其一积算，其一太乙，其一两仪，其一三才，其一五行，其一八卦，其一九宫，其一运筹，其一了知，其一成数，其一把头，其一龟算，其一珠算，其一计数。”《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第541～542页。其中，“太一（乙）算，太一之行，去来九道。两仪算，天气下通，地禀四时。三才算，天地和同，随物变通。五行算，以生兼生，生变无穷。八卦算。针刺八方，位阙从天。九宫算，五行参数，犹如循环。”《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第542～544页。从这些算法的名目如太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫来看，显然有道教术数的烙印。其中，“九宫算，五行参数，犹如循环。注云：九宫者，即二、四为肩，六、八为足，左三、右七，戴九、履一，五居中央。五行参数者，设位之法依五行，已注于上是也。”《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第544页。下面我们就《数术记遗》中的数学思想展开分析，以期从这一个案中加深对道教术数的数学思想特色的认识。

第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想《数术记遗》中的算学思想特色（1）

中国传统数学向来以计算见长，算学十分发达，极富特色。《数术记遗》的算学特色主要体系在珠算思想方面。

《数术记遗》是现存最早著录“珠算”器的文献，其以珠为运算工具的思想开启了中国传统珠算的先河。《数术记遗》所记十四种算法中，有四种是以珠计算的，具体为：

太一算，太一之行，去来九道。注云：刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠，数从下始。故曰去来九道也。《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第542页。

两仪算，天气下通，地禀四时。注云：刻板横为五道，竖以为位。一位两珠，上珠色青，下珠色珠，下珠色黄。其青珠自上而下，至上第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九。其黄珠自下而上，至下第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三，第四刻四，而已。故曰天气下通，地禀四时也。《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第542页。

三才算，天地和同，随物变通。注云：刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人，竖为算位。有三珠，青珠属天，黄珠属地，白珠属人。又其三珠通行三道。若天珠在天为九，在地主六，在人主三。其地珠在天为八，在地主五，在人主二。人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰天地和同，随物变通。亦况三元，上元甲子一、七、四，中元甲子二、八、五，下元甲子三、八、九，随物变通也。《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第542页。

珠算，控带四时，经纬三才。刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五。其下四珠，珠各当一。至下四珠所领，故云控带四时。其珠游于三方之中，故云经纬三才也。《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第546页。

第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想《数术记遗》中的算学思想特色（2）

算筹是中国传统的运算工具，有其运算方面的优势和特点。但筹算在做多位数加减法和乘除法时占地位多，布数慢，不利于快速计算，难以适应社会生产和商业活动的需要。因此，随着古代算术的发展，在传统筹算的基础上，出现了算盘，这种新的计算工具是以珠算代替传统的算筹。古算书《数术记遗》是最早著录“珠算”器的文献，这种‘珠算’器是现代算盘的前身，两者的建构基本类似。可惜原文和注解过简，关于书中的算盘是否有柱贯珠这一问题，学术界尚有分歧。参见华印椿编著《中国珠算史稿》，中国财政经济出版社，1987，第24～25页。

《数术记遗》所记古算十四法,早在19世纪30年代就引起日本学者三上义夫先生的兴趣，其著《中国数学的特色》〔日〕三上义夫：《中国数学的特色》，《万有文库》第一集中译本，商务印书馆，1929。用相当的篇幅论述了《数术记遗》中的种种算法和算器。继此之后，陆续有一些学者对《数术记遗》展开了研究。关于《数术记遗》所蕴涵的现代意义的科学思想，也有一些学者做了分析。例如，关于两仪算和三才算，李约瑟的《中国科学技术史》指出：“它使用两种不同颜色的珠，黄珠在y轴的左边，青珠在y轴的右边，立数的方法与‘太一’算相同。这种方法与近代的曲线图形表示法有惊人的类似之处，因为在近代的曲线图形表示中，不同类型的点与轴上的不同标度相联系。还有一种方法使用三种不同颜色的珠，只有三个水平位置，用这种方法同样可以建立任何一个需要的数。这就是‘三才’算法。总之，这些系统即使晚至公元六世纪才出现，它们仍表明当时人们对座标关系已有一定的认识。”李约瑟： 《中国科学技术史》第3卷《数学》，

科学出版社，1978，第169～170页。李约瑟最为推崇的是太一算，曾给予很高的评价：

正文提及某物“去来九道“（或许是槽？）。注释说“刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠”（这种算法的名称就是由此产生的）；因此，把这些珠上下移动，就可以定出需要保留的任何一个数。这个方法清楚地表明，在珠算系统中隐藏着座标几何学的方法，以10的幂次标定x轴，而以小于10的各数标定y轴。如果当时人们（即使是在思想上）能够相信这些珠沿着连续曲线移动，那么，用座标图示法的笛卡尔学派早就应该出现了。李约瑟：《中国科学技术史》第3卷《数学》，科学出版社，1978，第169页。

中国传统数学以计算而见长，与西方数学公理化的演绎传统有显著的区别。当代著名数学家吴文俊先生将其概括成中国数学的机械化道路，即要求运算或证明过程中，每前进一步之后，都有一个确定的、必须选择的下一步，这样沿着一条有规律的刻板道路一直达到结论。关于中国数学思想的机械化特征，郭金彬先生的《中国传统科学思想史论》做了深入的专题论述郭金彬：《中国传统科学思想史论》，知识出版社，1993。

，可参阅，兹不复述。因此，有学者从程序化意义来研究和解读《数术记遗》的古算十四法，认为“《数术记遗》的古算十四法部分，包含有十分丰富的程序设计思想，并行原则、搜索、选取原则等程序设计思想，在其中均有体现。”陈开先：《〈数术记遗〉之古算十四法的程序意义解读》，《自然辩证法研究》2003年第4期。《数术记遗》的古算十四法充分显示了吴文俊先生所概括的中国传统数学的数学机械化思想特征。这些有启发意义的见解，值得我们重视，同时也说明了《数术记遗》蕴涵了富有特色的数学科学思想，需要我们细心加以体味。

第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想神秘的“洞渊九容之说”（1）

当代著名数学家吴文俊教授在其著《近年来中国数学史的研究》一文中指出：“宋元时期（十至十四世纪）最重要的数学成就就是天元概念的引进。”吴文俊主编《中国数学史论文集》（三），山东教育出版社，1987，第8页。李约瑟博士也认为充满道家神秘色彩的“元”概念对中国数学思想的发展有特殊意义：

关键在于，中国远在《孙子算经》（三世纪末）出现以前就已有了一个基本上是十进制的位值体系。因此，道家神秘主义的“元”，对于发明sunya(即零)的记号所作的贡献，可能并不下于印度哲学的“空”。李约瑟：《中国科学技术史》第3卷《数学》，科学出版社，1975，第25～26页。

中国代数学十分发达，天元术即是其中重要的成就。天元术以“立天元一”的“元”字代未知数。或以太极的“太”，记绝对项，写在系数之旁，用以表明多次方程各项的地位。换句话说，天元术即现代代数学中一元高次方程的立法。“天元”代表未知数的符号x,所谓“立天元一为某某”用现代数学的语言即为“设x为某数”。“天元开方式”即今天的一元高次方程式。只不过表达形式不同。

天元术是如何起源的？这一问题很早就引起中外数学史家的兴趣，但由于目前所能发现的史料甚少，至今没有定论，因此“天元术的起源”被数学史家李迪先生列为“中国数学史上未解决的问题”。李迪： 《中国数学史中的未解决问题》，吴文俊主编《中国数学史论文集》

（三），山东教育出版社，1987，第17页。

目前能看到的有关天元术源流的早期文献，乃元人祖颐为其友朱世杰《四元玉鉴》所撰的“松庭先生四元玉鉴后序”：

平阳蒋周撰《益古》，博陆李文一撰《照胆》，鹿泉石信道撰《钤经》，平水刘汝锴撰《如积释锁》，绛人元裕细草之，后人始知有天元也。祖颐：《松庭先生四元玉鉴后序》，《知不足斋丛书》本，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第1206页。

平阳、平水、绛俱在山西境内，博陆、鹿泉则在河北境内。数学史家梅荣照先生据此认定：“天元术产生于山西、河北一带；它是经过一系列数学工作者的工作才完成的。”

梅荣照：《李冶及其数学著作》，《宋元数学史论文集》，科学出版社，1966，第123页。

梅荣照先生认为天元术产生于13世纪

李迪主张“天元术估计产生于十二世纪”，《中国数学史论文集》（三），山东教育出版社，1987，第1