7页。

第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想神秘的“洞渊九容之说”（2）

金末元初的山西、河北一带，绝不是偶然的，这里面还有它的客观的社会因素：“女真统治时期，汉族的士大夫阶级受到歧视，政治上没有出路，尤其在金末元初，阶级斗争十分剧烈，战事到处发生。因此，一些学者放弃了功名，著书讲学。……在女真统治时期，山西西南部受到战争的破坏较少，经济比其他地区优越，尤其是造纸业和印刷术更为发达。平阳、平水等地是当时北方的刻板中心，平阳的白麻纸，平水的雕版技术都很出名。这些都是科学文化发展的物质条件。”

梅荣照：《李冶及其数学著作》，《宋元数学史论文集》，科学出版社，1966，第123页。

梅荣照先生的分析很有启发意义。但笔者以为，天元术产生的直接渊源是道教“天元”思想。理由如下：

首先，天元术渊源于金元时期的山西、河北、山东一带，这一地域正是金元道教发展的活跃地区。金元是道教的宗派纷起和继续发展的一个重要时期。金太宗完颜晟于天会三年（公元1125年）灭辽，天会五年灭北宋。宋高宗赵构南渡，南宋偏安临安，形成与金、元南北对峙的局面。北方地区由于战乱不断，百姓生活十分动荡和困苦，身受异族统治之苦的广大汉族士人精神上无以寄托，这为宗教的发展提供有力的环境。在这种社会背景下，先后于河北、山东一带由汉族士人所创立的新道派，如金熙宗天眷元年（公元1138年）卫州人萧抱真开创的太一教，金熙宗皇统二年（公元1142年）沧州刘得仁创立的大道教，以及王重阳、丘处机等人创立的全真道，相继产生，受到北方地区汉族士人的热烈欢迎和拥护，隐逸清洁之士翕然从之，发展十分迅速。已故著名史学家陈垣先生早在上个世纪30、40年代就对这一问题做过专题研究，可参阅陈垣：《南宋初河北新道教考》，中华书局，1962。。

其次，从天元术的主要贡献者李冶的生平事迹来分析，李冶的数学思想直接传承于道门隐士。李冶，字仁卿，号敬斋，金末元初著名数学家，《元史》卷一百六十有传：

李冶，字仁卿，真定栾城人。登金进士第，调高陵簿，未上，辟知钧州事。岁壬辰，城溃，冶微服北渡，流落忻、崞间，聚书环堵，人所不堪，冶处之如裕也。世主在潜邸，闻其贤，遣使招之，且曰：“素闻仁卿学优才胆，潜德不耀，久欲一见，其勿他辞。”……冶晚家元氏，买田封龙山下，学徒益众。及世祖即位，复聘之，欲处以清要。冶以老病，恳求还山。至元二年，再以学士召，就职期月，复以老病辞去，卒于家，年八十八。所著有《敬斋文集》四十卷、《壁书丛削》十二卷、《泛说》四十卷、《古今杂【黄主】》四十卷、《测圆海镜》十二卷、《益古衍（疑）【段】》三十卷。《元史》卷一百六十，中华书局标点本第12册，第3759～3760页。

李冶，河北真定栾城人，“自幼喜算数”李冶：《测圆海镜》自序，《知不足斋丛书》本，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第730页。，曾考取金朝词赋科进士，担任过钧州（今属河南）知事，金世祖曾向他请教过地震发生的原因。在蒙古军队进攻金朝的战乱中，李冶流落到山西忻州、崞县（今原平）一带，“聚书环堵”。这“环堵”是何场所？现今一般不为人所知晓，其实乃是古代道门中人修炼隐居之所，是道教静室的一种。南北朝时期陶弘景所编撰的道教上清派经典《真诰》卷十八云： “所谓静室者,一曰茅屋,二曰方溜室,三曰环堵。”《真诰》卷十八，《道藏》第20册，第596页。环堵是道人闭关修行的场所。中起一屋,筑圜墙闭之,别开小nfdb8以通饮食,便人送也。居于这种环堵之中，可以和外界隔绝,专意修行。《庄子·庚桑楚》有一段话谈及“环堵之室”，“庚桑子曰：‘弟子何异于予?夫春气发而百草生,正得秋而万宝成。夫春与秋,岂无得而然哉?天道已行矣。吾闻至人,尸居环堵之室,而百姓猖狂不知所如往。’”疏云：四面环各一堵，谓之环堵也，所谓方丈室也。如死尸之寂泊，故言尸居。郭庆藩：《庄子集释》第4册，中华书局，1961，第771～772页。金元全真道士热衷坐环，将住环者称为坐环先生。《盘山栖云王真人语录》记载了全真道士王志谨论道言论，其中多处讨论了坐环修行问题。“师云：古人学道，心若未通，不远千里求师参问。倘若针芥相投，心地明白，更无疑虑，然后或居环堵，或寄林泉，或乞市中，或立宫观，安心守道，更无变，此修真之上士也。”《盘山栖云王真人语录》，《道藏》第23册，第727页。坐环者长期居于环中，空对四壁，需要有极强的毅力和恒心，所以“人所不堪”，然而“冶处之如裕也”。由此可以窥见李冶聚书环堵安心学问的境界。

第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想神秘的“洞渊九容之说”（3）

李冶本人在《测圆海镜》自序云其在“老大”的时候，得到“洞渊九容之说”：老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎，而向之病我者，使爆然落去而无遗余。山中多暇，客有从余求其说者，于是乎又为衍之，遂累一百七十问。既成编，客复目之《测圆海镜》。李冶：《测圆海镜》自序，《知不足斋丛书》本，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第730页。

从李冶的学术年谱来看，这里所说的“老大”当指五十岁以后。因为，李冶在二十岁左右的时候以作文章为乐趣，三十多岁的时候以“搴取声华”为乐，四十岁左右的时候热衷于“究竟名理”，而到了五十岁以后，才发现过去所醉心的辞章之学不名一文李冶《泛说》云：“李子年二十以来，知作文章之可乐，以为外是无乐也；三十以来，知搴取声华之可乐，以为外是无乐也；四十以来，知究竟名理之可乐，以为外是无乐也。今五十矣，复取二十以前所读《论》、《孟》六经等书读之，乃知向诸所乐，曾复虫也不如焉。”故学术界有学者指出：“在五十岁之前，李冶基本上是一个以经文为主、兼及其他的儒学通才，虽然对天文、数学、医学、音律等有所涉猎，但在科学（包括数学）没有深入的研究和突出的成果。”参见周翰光《论李冶的科学思想》，吴文俊主编《中国数学史论文集》（三），山东教育出版社，1987，第73页。。只是到了“老大”以后其学术兴趣与思想才发生了转折，主要原因是得遇“洞渊”，获得算术传授。《测圆海镜》成书于公元1248年，是中国现存最早的一部主要论述天元术的数学著作，清人阮元指出：“《测圆海镜》何为而作也？所以发挥立天元一之术也。”阮元：《重刻测圆海镜细草序》，《知不足斋丛书》本，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第729页。可以肯定，李冶的测圆术是在继承了“洞渊九容”的基础上发展起来的。这里有两个问题值得进一步细究，一是“洞渊九容”的来历？二是李冶是在什么地方得到“洞渊九容”之说的？已故数学史家李俨先生经过考证李俨：《中国数学大纲》上册，科学出版社，1958，第209页。，认为天兴三年（1234）金亡，李冶北渡后，流落忻崞间，先隐于崞山的桐川。在桐川聚书环堵，得“洞渊九容”之说，日夕玩绎，戊申（1248）写成《测圆海镜》十二卷。清嘉庆年间元和李锐在校勘《测圆海镜》时，认为“今洞渊之为人与书虽不可考”，但“洞渊疑为古之精于算者”《测圆海镜细草》卷十一李锐案语，《知不足斋丛书》本，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第859页。。李俨先生也认定洞渊是一个“不详其姓氏里居”的“近古数学家”李俨：《近古数学家小传》，

《中国数学大纲》上册，科学出版社，1958，第207页。

“洞渊九容”今已不存，梅荣照先生也曾对“洞渊是人是书，九容之说包括那些以及九容公式的证明等问题”作过“一些推测”。参见梅荣照《李冶及其数学著作》，《宋元数学史论文集》，科学出版社，1966，第117～121页。

李迪先生则推测：“‘九容之说’可能是讲的直角三角形内外切圆的计算问题九则，‘洞渊’大概为北宋处州的洞渊大师李思聪。”李迪：《十三世纪我国数学家李冶》，《数学通报》，1979年第3期。

李迪先生这里主要根据宋代王应麟《玉海》卷一“至和列象拱极图”的材料。而祝亚平的《道家文化与科学》一书则根据李迪先生的这一推测径称李思聪为天元术的创始人参见祝亚平《道家文化与科学》，中国科学技术大学出版社，1995,第242页。，似乎缺乏说服力。笔者在前贤研究的基础上，现根据道书中有关“洞渊”的一些记载，对此略作辨析。

明代《正统道藏》中以“洞渊”为书名的道经就有两部，一是题为“龟山长筌子著”的《洞渊集》五卷，其内容主要是长筌子所撰的论重玄、致道、至德、内炼、幽居等修持诗文。其中“幽居”云：正大辛卯岁孟春望日，时有龟山长筌子逃干戈于古唐之境，避地于泌阳畎亩之中。柴篱蓬户，楮冠袍，箪食藜羹……昂霄咏歌而叹曰：快哉幽居乎! 快哉幽居乎!《洞渊集》卷四，《道藏》第23册，第872页。

第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想神秘的“洞渊九容之说”（4）

正大乃金哀宗年号（公元1224～1231年），泌阳，县名，在河南省。从上述“幽居“一文可知，长筌子乃金末人，系全真派道士，于正大辛卯岁（公元1231年）孟春躲避战乱于河南泌阳，幽居于山水之间。《正统道藏》洞真部玉诀类还收有长筌子注释的另外两部道经《元始天尊说太古经注》、《太上赤文洞古经注》。二是题为“冲妙先生李思聪集”的《洞渊集》九卷，卷中阐述道教名山、洞天福地、二十八治、水府、星名、三十二帝宫神等。卷前有李思聪撰于宋皇元年（公元1049年）十二月的《进洞天海岳表》，自称“虔州大中祥符宫道士”《洞渊集》表，《道藏》第23册，第834页。。据此可知李思聪系宋仁宗朝人，为虔州（今）大中祥符宫道士，号冲妙先生。

然而，《道藏》中带有“洞渊”书名的道经则更多，计有：《太上洞渊神咒经》、《太上洞神洞渊神咒治病口章》、《太上北帝天蓬护命消灾神咒妙经》、《太上洞渊三味神咒斋忏谢仪》、《太上洞渊三味神咒斋清旦行道仪》、《太上洞渊三味神咒十方忏仪》、《太上洞渊三味帝心光明正印太极紫微伏魔制鬼拯救恶道集福吉祥神咒》等。其中《太上洞渊神咒经》，据唐代道教学者杜光庭序称，乃晋代金坛马迹山道士王纂所编撰。入唐以后，以洞渊经系为传法系统形成洞渊一派，颇有声势，出现了韦善俊、叶法善等知名高道。因此，仅凭“冲妙先生李思聪集”的《洞渊集》，很难断定“洞渊九容之说”的洞渊就是李思聪。但可以肯定“洞渊九容之说”当出自道门。

李冶《测圆海镜》十二卷，全书列有170题，系统总结了天元术，对于高次方程的解法、各种勾股容圆、小数记法以及代数式的写法等有多方面的创新。从李冶所著的《测圆海镜》的天元术内容与思想分析，神秘的道门数学家“洞渊”已有明确的立天元一的开方造术数学思想和步骤，例如李冶在《测圆海镜》卷十一《杂糅十八问》末指出“又法此问系是洞渊测圆门第一十三，前答亦依洞渊细草，用勾外容圆术以如于较和。然其数烦碎，宛转费力。今别草一法，其廉从与前不殊，而中间段络径捷明白，方之前术极为省易，学者当自知也。”李冶：《测圆海镜》卷十一，《知不足斋丛书》本，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第858页。

这有力说明李冶汲取了洞渊的数学思想方法，正如清代李锐所指出的“序（指李冶自序）中谓老大以来，得洞渊九容之说。而于此问又明其为洞渊测圆门第十三题前答亦依其细草。大抵是书之作，皆师其意而演之者也。”

《测圆海镜细草》卷十一李锐案语， 《知不足斋丛书》本，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第859页。

只不过洞渊的运算较为繁琐而已。李冶在继承洞渊天元术思想的基础上，对天元术进行了简化创新，取消了表示负幂的的地元，只用一个“元”字表示未知数的一次幂，或用“太”表示常数项，其他幂次皆按位置值给出，进一步简化了天元术的表示和运算。他在