76).
148 第二部分资产组合理论
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re(t)表示投资期限为t的有效收益率。持有期限短，即t很小时，re(t)＝ert-1的近似
值非常精确，并且正态分布非常近似于对数正态分布。由于rt是正态分布的，短期内
的有效年收益可以看成是近似于正态分布的。
因此，短期持有时，有效持有期收益的均值与标准差与年连续复利的股票收益率
的均值与标准差以及时间间隔是成比例的。
所以，如果一只股票的年连续复利收益率的标准差为4 0%（
＝0 . 4 0，
2＝0 . 1 6），
那么，譬如由于特定目的持有期为1个月的收益的方差就是：
2(月)＝ 2/ 1 2＝0 . 1 6 / 1 2＝0 . 0 1 3 3
月标准差是( 0 . 0 1 3 3 )1 / 2＝0 . 11 5 5。
为说明这个原理，假定道·琼斯工业平均指数一天上升5 0点，从8 400 点升至8
4 5 0。这个涨幅“很大”吗？看一看道·琼斯资产组合年连续复利率，我们发现战后
年平均标准差为1 6%。假定道·琼斯资产组合收益是对数正态分布且连续分期之间的
收益负相关，一天期收益分布的标准差（按每年2 5 0个交易日计算）为：
2(日)＝(
年) ( 1 / 2 5 0 )1 / 2＝0 . 1 6 / ( 2 5 0 )1 / 2＝0 . 1 0 1＝1 . 0 1%（每日）
将此结果应用于道·琼斯交易日开市时的水平8 400 点，我们发现道·琼斯指数的
日标准差为8 400x0 . 1 0 1＝8 4 . 8点。如果道·琼斯资产组合的日收益率是近似于正态
分布的，我们知道三天中有一天道·琼斯指数的变动将会大于1%。因此5 0点的变动就
不值得大惊小怪。
概念检验
问题6 a - 2：再来看表6 a - 1。资产组合越分散，其最小收益率就越不可能为负，你
对此会感到奇怪吗？你的解释与样本的最大收益率情况相一致吗？
小结：附录6 a
1. 收益率的概率分布可以用矩差表示。一阶矩差，即收益分布的均值，可以用来
测度风险的报酬。较高阶矩差是有风险的特征，偶数矩差传达了可能有极端值的信息，
而奇数矩差表示收益分布的不对称。
2. 投资者对各种分布矩差的偏好表明了他们对风险的态度。基本的近似法表明，
频繁更换资产组合时，价格是持续的，理想的资产组合只用均值与方差估算就行了。
3. 持有期不是太长且十分分散的资产组合的收益率近似于正态分布。持有期限短
时（一个月以上），正态分布非常接近于对数正态分布。
习题：附录6 a - 1
1. 机智股票投资咨询公司为k l公司的股价与年终红利作了以下的情景分析，k l
公司的股票现在售价为每股1 2美元。
年末
情景概率红利/美元价格/美元
1 0 . 1 0 0 0
2 0 . 2 0 0 . 2 5 2 . 0 0
3 0 . 4 0 0 . 4 0 1 4 . 0 0
4 0 . 2 5 0 . 6 0 2 0 . 0 0
5 0 . 0 5 0 . 8 5 3 0 . 0 0
计算每一情景的收益率与：
a. 均值、中值和众值。
b. 标准差和绝对均差。
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第6章风险与风险厌恶
149
c .均值的一阶矩差、二阶矩差与三阶矩差，k l公司股票价格的概率分布是正态的
吗？
概念检验问题6 a 1与6 a 2答案
6a1. 投资者对极端的结果比对一般的结果更敏感，这是方差与更高阶的偶数矩差
所不能解释的。随机的证据表明，投资者迫切地为极端的损失寻求可能的保险，并对
有高度正偏度的概率事件极为乐观。但是，这个假定却很难通过理性控制的实验加以
证明。
6a2. 资产组合越分散化，其标准差就越小，如表6 a - 1中样本标准差所示。当我
们根据标准差较小的概率分布画图时，极端值的概率下降。因此，随着标准差变小，
预期样本中的最小值与最大值都更接近于均值，这一预期可由表6 a - 1中的样本的最大
与最小年利率得以证明。
附录6b 风险厌恶与预期效用
投资者厌恶风险是我们讨论的出发点，在此我们将离开前面的主题，考察这一观
点背后的基本原理。认为风险厌恶是投资决策的中心的看法至少可以追溯到1 7 3 8年。
丹尼尔·贝诺里（daniel bernoulli）是出身于瑞士名门的著名数学家，他于1 7 2 5年到
1 7 3 3年在圣彼得堡研究下述的投币游戏。参加这个游戏要先付门票，其后，抛硬币直
到第一个正面出现时为止。在此之前，反面出现的次数（用n表示）用来计算参加者
的报酬r美元：
r(n)＝2n
在第一个正面出现之前反面一次也没出现的概率（n＝0）是1 / 2，相应的报酬为20＝
1美元。出现一次反面才出现正面的概率（n＝1）是1 / 2x1 / 2，报酬为21＝2美元，出现
两次反面才出现正面的概率（n＝2）是1 / 2x1 / 2x1 / 2，余此类推。
下表列出了各种结果的概率与报酬：
反
0
1
2
3
面概率
1 / 2
1 / 4
1 / 8
1 / 1 6
报酬＝r（n）/美元
1
2
4
8
概率x报酬/美元
1 / 2
1 / 2
1 / 2
1 / 2
. . . .
. . . .
. n . (1/2) n+ 1
.
2n
.
1 / 2
所以，预期报酬为：
e(r) =.(￥) pr(n)r(n) =￥
1/ 2 +1/2+xxx=
n=0
对该游戏的评价被称为“圣彼得堡悖论”。尽管预期报酬是无限的，但显然参加
者愿意买票玩这个游戏的花费是有限度的，可能非常有限，只是入门费而已。
贝诺里发现投资者赋予所有报酬的每个美元的价值是不同的，并由此解决了悖论
问题。特别地，他们的财富越多，就越不在乎每一个增加的美元。通过给拥有各种财
富水平的投资者一个福利值或效用值，我们能够用数学方法精确地表达这种观点。随
着财富的增多我们的效用函数也应增大，但是财富每增加1个美元所增加的效用的数
量应该逐渐减少[1]（现代经济学家会说投资者每增加一美元的报酬的“边际效用递减”）。
[1] 这种效用类似于在给定风险与收益特性下的资产组合的满意程度。但是，这里的效用函数并不涉及投资者对
可供选择的资产组合选择的满意程度，而仅仅涉及他们从不同财富水平中得到的主观福利程度。
150 第二部分资产组合理论
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一个特殊的函数l o g（r）赋予报酬为r美元的投资者一个主观价值，报酬越多，每个
美元的价值就越小。如果用这个函数测度财富的效用值，该游戏的主观效用值的确是
有限的[ 1 ]。获得该效用值所必需的财富为2美元，因为l o g（2）＝0 . 6 9 3。因此，风险报
酬的确定等价物是2美元，是投资者参加游戏付出的最高价钱。
1 9 6 4年，冯·纽曼（von neumann）与摩根斯坦（m o rg e n s t e r n）以完全公理的体
系将此方法应用于投资理论，避开不必要的技术细节，我们在此只论及对风险厌恶基
本原理的直感。
设想有一对同卵双胞胎，其中一个比另外一个穷。彼得名下只有1 000美元，而鲍
尔却拥有2 0万美元。他们各自愿意工作多少小时去再挣一美元？似乎彼得（穷兄弟）
比鲍尔更需要这一美元。所以彼得愿意付出更多的时间。也就是说，与鲍尔得到第
200 001美元相比，彼得得到了更多的个人福利或赋予第1 001美元更大的效用值。图
6 b - 1用图形描述了财富与财富效用值的关系，它与边际效用递减的概念是一致的。
每个人的财富边际效用递减率各不相同。每增加一个美元，财富的效用值随之减
少却是一个固定不变的原理。表示随着财产数量的增加每个单位的价值递减的函数称
之为凹函数。中学数学中的对数函数就是一个简单的例子。当然，对数函数并不适于
所有的投资者，但与风险厌恶是一致的，我们假定所有的投资者都是风险厌恶型的。
图6b-1 对数效用函数的财富效用
现在考虑以下的简单情景：
p＝1/2 150 000美元
100 000美元
1-p＝1/2 50 000 美元
这是一个预期利润为零的公平游戏。但是，假定图6 b - 1代表投资者的财富效用值，
且为对数效用函数。图6 b - 2显示了用数值标出的曲线。
图6 b - 2表明因损失5万美元造成的效用减少超过了赢利5万美元形成的效用增加。
先考虑效用增加的情况。概率p＝0 . 5时，财富从1 0万美元增加到1 5万美元。利用对数效
[1] 如果我们用支付的美元r来取代效用值l o g (r)，获得游戏的期望效用值(而不是期望美元值)，我们可以
有期望效用值的上限v(r)，即v (r) =.(￥) pr(n)log[ r( n)] =.(￥) (1
2)n+1 log(2 n ) = 0.693
n =0 n =0
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第6章风险与风险厌恶
151
用函数，效用从l o g（100 000）＝11 . 5 1 增加到l o g（150 000 ）＝11 . 9 2 ，即图上的距离g。
增加的部分g＝11 . 9 2-11 . 5 1＝0 . 4 1。按期望效用计算，增加值pg＝0 . 5x0 . 4 1＝0 . 2 1。
图6b-2 公平游戏与期望效用
现在考虑另一端的情况。在这种情况下，财富从1 0万美元降到5万美元。图中的
距离l是效用的损失，l＝l o g（100 000）-l o g（50 000）＝11 . 5 1-1 0 . 8 2＝0 . 6 9。因而
预期效用的损失为（1-p）l＝0 . 5x0 . 6 9＝0 . 3 5，它大于预期效用的增加。
我们计算风险投资的预期效用：
e[u(w) ]＝p u(w1) + ( 1-p)u(w2)＝1/2log(50 000)+1/2log(150 000)＝11 . 3 7
如果该投资遭到拒绝，1 0万美元的效用值为l o g（100 000）＝11 . 5 1 ，比公平游戏
的11 . 3 7 还大。因此，风险厌恶型投资者将拒绝参加公平游戏。
使用具体的投资者效用函数（如对数效用函数）使我们能够计算特定的投资者玛
丽·史密斯（mary smith）风险投资的确定等价值。如果该数值能肯定得到，玛丽会
认为与风险投资有相同的吸引力。
如果对数效用描述了玛丽对财富的偏好，那么图6 b - 2还可以告诉我们：对她来说，
该投资的美元价值是多少。我们要问：“效用值为11 . 3 7 （等于投资的期望效用）时，
确定的财富水平是多少？”由11 . 3 7 画出的水平线与效用曲线在wc e点相交。这意味着：
l o g（wc e）＝11 . 3 7
它表示：
wc e ＝e11 . 3 7＝86 681.87
因此，wc e是投资的确定等价值。图6 b - 2中的距离y是出于风险对预期利润的妨碍
或下调。
y＝e(w)-wc e ＝100 000美元-86 681.87美元＝13 318.13美元
史密斯认为稳拿的86 681.87 美元与有风险的100 000美元的效用值相等。因此，
在两者之间，她持无所谓的态度。
概念检验
问题6 b 1：假定效用函数为u(w)＝w1 / 2。
a. 财富为5万美元与1 5万美元时的效用水平各是多少？
b. 如果p＝0 . 5，期望效用是多少？
c.