为可能的结果或情形；r(s)是结果为s时的收益率，p r (s)是与其
相关的概率。
事实上，预期值或均值并不是概率分布中值的唯一选择，另外还有中值与众数。
中值是指超过半数的结果值并被另一半超过。而预期收益率是结果的权重，中值
基于结果的等级顺序并只考虑结果值的顺序。
在预期值受极端值控制的情况下，中值与均值差距很大。收入（与财富）在人口
中的分布就是一例。少部分家庭占有全部收入（与财富）的相当大的比例，平均收入
被这些极端值“提高了”，它并不具有代表性。由于中值等于超过半数人口的收入水
平（不管超出多少），它不受此影响。
最后，计算中值的第三种选择是众数，它是最大概率时最可能的分布值或结果值。
但是，到目前为止，预期值是最广泛使用的测度中值或一般趋势的方法。
现在我们回到收益的概率分布的性质所含有的风险特性问题上来。一般地说，要
用一个数字来量化风险是不可能的。基本的思路是，为确保准确性，用一组很小的统
计数描述“惊奇”（偏离均值）的可能性和大小，完成这项工作的最简单的方法是按
传达的信息值的顺序回答一组问题，当进一步的问题不会影响我们的风险-收益平衡概
念时终止发问。
第一个问题是：“对预期值的典型的偏离是多少？”正常的回答是：“对预期值的
预期偏离是—。”不幸的是，这种回答对问题没有任何帮助，因为它必然是零：对
均值的正偏离正好被负偏离抵消。
有两种方法来解决这个问题。一是用预期偏差的绝对值，它使所有的偏差变成正
值。这就是所谓的平均绝对偏差（mean absolute deviation, mad），它由以下公式得
出：
x绝对值[r(s)-e(r) ]
第二种方法是用预期平方差，它也必须是正的，并且只是概率分布的简单方差：
注意方差的计量单位是“百分比的平方”。回到我们最初的单位，与计算预期值
一样，方差的平方根按百分比计算，我们计算标准方差也是如此。方差还叫做围绕均
值的二阶矩差，预期值本身是一阶矩差。
尽管方差计算的是预期值的平均平方差，它并不能全面描述风险。要知道为什么，
我们来看图6 a - 1中一个资产组合收益率的两种概率分布。
图6a-1 资产组合收益率的斜度的概率分布
图6 a - 1 a与图6 a - 1 b是两个预期值与方差相同的概率分布图。该图显示的方差相同，
因为概率分布b是a的镜像。
a与b的主要区别在什么地方？ a的特征是小损失的可能性大，巨额收益的可能性
小。b与此恰恰相反。当我们谈及风险时，我们真正的意思是“坏的惊奇”。这种坏的
惊奇尽管在a中发生的可能性很大，但数量小（且有限）。在b中却很有可能是数额惊
人。风险厌恶型投资者因此偏好a甚于偏好b；因此值得将此特点量化。这种不对称的
分布叫做偏度，我们用三阶矩差来计算，有
预期值偏差的三次方保留了它们的标记，使我们能够区分好的与坏的惊奇。因为
偏差越大，其权重越大，使得分布的“长尾巴”控制了对偏度的测度。因此，向右的
偏度分布是正的，例如a，向左的偏度分布是负的，如b。虽然不如标准差重要，这种
不对称也是一种相关的特征。
总之，一阶矩差（预期值）代表回报。二阶矩差表示报酬的不确定性。所有的偶
数矩差（方差，m4等等）表明有极端值的可能。这些矩差的值越大，不确定性越强。
奇数矩差（m3，m5等）代表不对称的测度。正数与正的偏度相关，所以是人们所期望
的。
我们可以根据投资者对各种矩差分布的偏好表来判断每个投资者的风险厌恶特
征，也就是说，我们可以从概率分布中推导出效用值：
u=e(r)-b0
2＋b1m3-b2m4＋b3m5-.
这里，矩差数越大，其重要性越低。注意“好的”矩差数（奇数）是正系数，而
“坏的”矩差数（偶数）系数前的符号是负的。
m3 = pr( s)[ r(s) - e( r)]3
s =1
n.
2 = pr( s)
s=1
n.
[r( s) - e( r)]2
pr( s)
s=1
n.
下载第6章风险与风险厌恶厌恶145
a) b)
146 第二部分资产组合理论
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需要多少矩差数才足以说明投资者的概率分布呢？萨缪尔森的运用均值、方差与
较高阶矩差分析资产组合的基本近似理论[1] 证明在许多重要情况下：
1) 超过方差的所有矩差的重要性远远小于预期值与方差。也就是说，忽略大于方
差的矩差不会影响资产组合的选择。
2) 方差与均值对投资者的福利同等重要。
萨缪尔森的证明是均值-方差分析的主要理论根据。在该证明的条件下，均值与方
差同等重要，而且我们可以忽略所有其他的矩差，并且对我们的分析没有什么影响。
萨缪尔森得出这个结论的主要假设是股票收益分布的“紧凑性”。如果投资者能够控
制风险，资产组合收益率的分布据说就是紧凑的。实际上讲，我们通过提问题来测定收益
分布的紧凑性：如果持有资产组合的时间稍短，我在资产组合中的风险会降低吗？如果只
是瞬间持有该资产组合，风险会接近零吗？如果回答是肯定的，那么分布就是紧凑的。
一般来说，紧凑性与股票价格的持续性是等价的。如果股票价格没有突增，那么，
时期越短，股票收益的不确定性就越低。在这种情况下，能够经常调整资产组合的投资
者将采取行动使股票收益的高阶矩差变得很小以致微不足道。并不是偏度在原则上无关
紧要，而是投资者频繁地更换资产组合的行为把高阶矩差限制在了可以忽略不计的水平。
然而，持续性或紧凑性并不是无关紧要的假设，资产组合的变动产生交易成本，
意味者调整必须受到某种程度的限制，而且不能完全忽视偏度与其他高阶矩差的作用。
紧凑性还排除了以下现象，如有兼并意图时出现的主要股票价格剧增，它同样排除了
戏剧性的事件，诸如1 9 8 7年股市一天暴跌2 5%的情形。除了这些相对特殊的事件，均
值-方差分析是恰当的。在大多数情况下，如果经常地更换资产组合，我们只需关心均
值与方差就够了。
资产组合理论在很大程度上是建立在均值-方差（或均值-标准差）分析的条件得
到满足的假设上的。因此，我们通常忽略了较高阶的矩差。
概念检验
问题6 a - 1：彩票与保单的同时畅销如何能够证实人们对资产组合收益的正偏度的
喜好胜于对负偏度的喜好？
表6a-1 从纽约证券交易所上市的股票中随机抽取的
资产组合一年期投资收益率的概率分布
n＝1 n＝8 n＝3 2 n＝1 2 8
统计
观察值正常值观察值正常值观察值正常值观察值正常值
最小值-7 1 . 1 n a -1 2 . 4 n a 6 . 5 n a 1 6 . 4 n a
第5百分位数-1 4 . 4 -3 9 . 2 8 . 1 4 . 6 1 7 . 4 1 6 . 7 2 2 . 7 2 2 . 6
第2 0百分位数-0 . 5 6 . 3 1 6 . 3 1 6 . 1 2 2 . 2 2 2 . 3 2 5 . 3 2 5 . 3
第5 0百分位数1 9 . 6 2 8 . 2 2 6 . 4 2 8 . 2 2 7 . 8 2 8 . 2 2 8 . 1 2 8 . 2
第7 0百分位数3 8 . 7 4 9 . 7 3 3 . 8 3 5 . 7 3 1 . 6 3 2 . 9 3 0 . 0 3 0 . 0
第9 5百分位数9 6 . 3 9 5 . 6 5 4 . 3 5 1 . 8 4 0 . 9 3 9 . 9 3 4 . 1 3 3 . 8
最大值4 4 2 . 6 n a 1 3 6 . 7 n a 7 3 . 7 n a 4 3 . 1 n a
均值2 8 . 2 2 8 . 2 2 8 . 2 2 8 . 2 2 8 . 2 2 8 . 2 2 8 . 2 2 8 . 2
标准差4 1 . 0 4 1 . 0 1 4 . 4 1 4 . 4 7 . 1 7 . 1 3 . 4 3 . 4
偏度(m3) 2 5 5 . 4 0 . 0 8 8 . 7 0 . 0 4 4 . 5 0 . 0 1 7 . 7 0 . 0
样本规模1 227 — 131 072 — 32 768 — 16 384 —
资料来源：lawrence fisher and james h. lorie, “ some studies of variability of returns on
investments in common stocks,” journal of business 43(april 1970).
[1] paul a. samuelson,“the fundamental approximation theorem of portfolio analysis in terms of means,
variances, and higher moments,”review of economic studies 37 (1970).
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第6章风险与风险厌恶
147
6a.2 正态分布与对数正态分布
现代资产组合理论在很大程度上假设资产收益是呈正态分布的。这是一个简便的
假设，因为用均值与方差完全可以描述正态分布，与均值-协方差分析相一致。一个基
本观点是即便单个资产的收益不是完全正态的，一个大型资产组合收益的分布却会与
正态分布非常相似。
数据证实了这种论点。表6 a - 1显示了从纽约证券交易所上市股票中随机抽查的许
多资产组合的一年期投资结果。资产组合按分散化程度不断增加的顺序列出，即每种
资产组合样本的股票数目是1，8，3 2，1 2 8。每种资产组合收益分布的百分位数与人
们期望的正态分布的资产组合进行了比较，它们的均值与方差是相同的。
首先来看单只股票的资产组合（n＝1），它的收益分布离正常值很远。样本的均
值是2 8 . 2%，标准差为4 1 . 0%。在有相同的均值与标准差的正态分布中，我们预期第5
百分位数的股票损失3 9 . 2%，但它实际上损失了1 4 . 4%。而且，虽然正态分布的均值与
其中值正好一致，但单只股票实际的样本中值却是1 9 . 6%，大大低于样本均值2 8 . 2%。
相反地，1 2 8只股票资产组合的收益分布与假设的正态分布的资产组合基本上是一样
的。因此，对于十分分散的资产组合而言，正态分布是一个恰如其分的假设。持有多大
的资产组合才能达到这种结果取决于单个股票的收益分布离正常值有多远。从表中显示
的情况看，一个资产组合通常必须包括至少3 2只股票，其一年期收益才能接近正态分布。
单只股票收益正态分布的假设还存在理论上的缺陷。假定股票价格不能是负的，
正态分布就不能真正代表持有期收益率的情况，因为它允许有任何结果，包括全部股
票的价格为负。特别要指出的是，低于-1 0 0%的收益率在理论上是不可能的，因为它
意味着存在负的证券价格的可能性。正态分布不能排除这样的结果应当视为一种缺陷。
另外一个假设是，连续复利年收益率是正态分布的。如果我们把该比率用r表示，
有效年收益率用re表示，那么re ＝er-1，因为er永远不可能是负的，re最小的可能值是-1，
或-1 0 0%。因此，这种假设巧妙地排除了负价格的可能性，同时还保持了使用正态分布
的好处。在这种假设下，re的分布就将是对数正态分布。图6 a - 2描述了这种分布。
图6a-2 三种标准差值的对数正态分布
资料来源：j. atchison and j. a. c. brown, the lognormal distribution(new york: cambridge
university press, 19