o v (rz，rx)＋wywzc o v (ry，rz)＋wzwyc o v (rz，ry)
＝wx2x2＋wy
2y2＋wz
2z2＋2wxwyc o v (rx，ry)＋2wxwzc o v (rx，rz)＋2wywzc o v (ry，rz)
2. e(rd)＝8%，e(re)＝1 3%，
d ＝1 2%，
e ＝2 0%，
(d，e)＝0 . 2 5
由标准差和相关系数得到协方差矩阵：
股票d e
d 1 4 4 6 0
e 6 0 4 0 0
得到总体方差最小的资产组合为：
2
- cov(r, r) 400 - 60
w= e de = = 0.801 9
d 22
d
+
e - 2cov(rd , re ) (144 + 400)- (2 ′ 60)
w = 1 - w= 0.198 1
ed
于是得到期望收益和标准差为：
e(rp)＝( 0 . 8 0 1 9x8 )＋( 0 . 1 9 8 1x1 3 )＝8 . 9 9%
p ＝[wd
2d2＋we
2e2＋2wdwec o v (rd，re) ]1 / 2
＝[ ( 0 . 8 0 1 92x1 4 4 )＋( 0 . 1 9 8 12x4 0 0 )＋( 2x0 . 8 0 1 9x0 . 1 9 8 1x6 0 ) ]1 / 2＝11 . 2 9%
对于其他的资产组合，我们将wd从0 . 1 0增至0 . 9 0，相应的we从0 . 9 0降至0 . 1 0。将这
些资产组合代入期望收益与标准差的计算中，注意在wd或we为1时，就代表单独持有
该股票，所得期望收益与标准差即为该股票自身的值。
于是我们得到下表：
we wd e(r)
0 . 0 1 . 0 8 . 0 1 2 . 0 0
0 . 1 0 . 9 8 . 5 11 . 4 6
0 . 2 0 . 8 9 . 0 11 . 2 9
0 . 3 0 . 7 9 . 5 11 . 4 8
0 . 4 0 . 6 1 0 . 0 1 2 . 0 3
0 . 5 0 . 5 1 0 . 5 1 2 . 8 8
0 . 6 0 . 4 11 . 0 1 3 . 9 9
0 . 7 0 . 3 11 . 5 1 5 . 3 0
0 . 8 0 . 2 1 2 . 0 1 6 . 7 6
0 . 9 0 . 1 1 2 . 5 1 8 . 3 4
1 . 0 0 . 0 1 3 . 0 2 0 . 0 0
0 . 1 9 8 1 0 . 8 0 1 9 8 . 9 9 11.29 最小方差组合
这样就可以画出图形。
3. a.股票和风险债券基金的期望收益与方差计算与第2题相似，在给出a部分的图
解时要注意这些计算。另外，基金之间的协方差为：
c o v (ra，rb)＝
(a，b)x ax
b ＝-0 . 2x2 0x6 0＝-2 4 0
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第8章最优风险资产组合
203
b. 最优风险组合的权重如下：
(10 - 5)60 2 - (30- 5)( -240)
wa == 0.681 8
(10 - 5)60 2 + (30 - 5)20 2 - 30(-240)
wb = 1 - wa = 0.3182
收益期望值和标准差为：
e(rp)＝( 0 . 6 8 1 8x1 0 )＋( 0 . 3 1 8 2x3 0 )＝1 6 . 3 6%
p ＝[ ( 0 . 6 8 1 82x2 02)＋0 . 3 1 8 22x6 02＋2x0 . 6 8 1 8x0 . 3 1 8 2 (-2 4 0 ) ]1 / 2＝2 1 . 1 3％
注意到，这里最优风险组合的标准差小于a股票，同时，p资产组合并不是整体最
小方差资产组合，整体最小方差资产组合的权重为：
60 2 - (- 240)
wa == 0.857 1
60 2 + 202 - 2(- 240)
wb = 1 - wa = 0.142 9
最小方差资产组合的标准差为：
( m i n )＝[ 0 . 8 5 7 12x2 02＋0 . 1 4 2 92x6 02＋2x0 . 8 5 7 1x0 . 1 4 2 9x( - 2 4 0 ) ]1 / 2
= 1 7 . 5 7%
这个标准差小于最优风险资产组合的标准差。
c. 资本配置线是无风险收益点与最优风险组合的连线，它代表了短期国库券与最
优风险资产组合之间的所有有效率组合，资本配置线的斜率为：
e( rp ) - rf 16.36 - 5
s = == 0.537 6
21.13
p
d. 在给定的风险厌恶指数a的条件下，投资者愿意投资到最优风险资产组合的比
例为：
y =
e(rp ) - rf
2 =
16.36 - 5
= 0.508 9
0.01 ′ a
0.01 ′ 5 ′ 21.13 2
这意味着a＝5的投资者愿意在这个最优风险资产组合中投入5 0 . 8 9%的财产，由于
a、b两种股票在资产组合中的比例分别为6 8 . 1 8%和3 1 . 8 2%，这个投资者分别投资于这
两种股票的比例为：
a股票：0 . 5 0 8 9x6 8 . 1 8＝3 4 . 7 0%
b股票：0 . 5 0 8 9x3 1 . 8 2＝1 6 . 1 9%
总额：5 0 . 8 9%
p
4. 有效率边界来源于资产管理者对各种投资收益的预测和对风险，即协方差矩阵
的估计。预测本身并不能决定产出，于是选择带有乐观估计的管理者就意味着碰上好
的形势时会得到更大的收益，而在情况恶劣时的损失也会更大。我们应该做的是准确
地回报风险的承担者，于是当投资者看到资产管理者做出的曲线（预测）时，所要做
的应该是得到其预测准确性的纪录，从而选择预测更为准确的。这样进行资产组合的
选择，从长远来看将会更加出色。
5. a. 资本配置线上的资产组合是风险资产与无风险资产的组合。于是其准确性也
依赖于有效率边界的准确性。如果我们通过“酬报与波动性比率”的准确性来测度预
测的准确性，就会发现，资本配置线上的所有资产组合的准确性都是相同的。
b. 资本配置线上的所有资产组合为p1和购买无风险债券的组合，这样的风险资产
和无风险资产的组合导致了资产期望收益和标准差之间的线性关系：
e(rp1) - rf
e(rp ) = rf +
p（5 - b）
p1
资本配置线( c a l2)上的资产组合也是一样，只需在（5 - b式）中用e(rp2)、p2取代
e(rp1)、p1。而投资者希望得到e(rp1)和e(rp2)之间的期望收益率，则需用恰当的比例确
定p1和p2之间的风险资产，从其有效边界得到相应的资产组合。
附录8a 分散化的力量
在8 - 1节中引入了分散化的概念，但是，由于系统风险的原因，限制了进一步分
散化带来的更多的好处。运用我们已有的工具，我们可以更深层次地考察一下分散化，
同时加深对分散化力量的理解。
前面的8 - 1 0式给出资产组合方差的一般公式，有
( 8 a - 1 )
现在首先考虑一个单纯的分散化策略，构建一个等权重的资产组合，每一证券有
一平均的权重：wi＝1 /n。此时8 a - 1式可以改写为下式（我们把i＝j时的情况分别写出)，
注意，c o v (ri ，rj)＝ i
2，
( 8 a - 2 )
8 a - 2式中包含n项方差和n(n-1 )项协方差。
如果我们定义证券的平均方差和平均协方差为
我们可以将资产组合方差的表达式改写为
( 8 a - 3 )
现在考察一下分散化的影响。当证券收益之间的平均协方差为零时，这是因为此
时所有的风险都是公司特定风险，资产组合的方差可为零。我们从8 a - 3式中可以看到：
在这样的情景下，右边第二项为零，而当n足够大时，第一项趋近于零。因此，当证
券收益不相关时，资产组合分散化的力量对于限制资产组合的风险是无限的。
但是，最重要的经济领域的风险因素使得股票的收益是正相关的。在这种情况下，
尽管资产组合有更大程度的分散化（ n增大），资产组合的方差仍为正。尽管8 a - 3式中
第一项表示的公司特定风险可以分散掉，但是，第二项在n增大时，将趋近于平均协
方差[注意，(n-1 ) /n＝1-1 /n，当n很大时，此式趋近于1 ]。因此，分散化的资产组合不
可降低的风险依赖于资产组合中各项资产收益的协方差，而它也是经济中重要的系统
因素的函数。
为了进一步考察系统风险与证券相关性的关系，假定所有证券有同样的标准差，
而且所有证券间的相关系数为，每对证券的协方差为2，8 a - 3式变为：
( 8 a - 4 )
现在相关性的影响就非常清楚了，当＝0时，我们再次得到了保险原则，资产组
合的方差在n足够大时趋向于0，当＞0时，资产组合方差为正。实际上，当＝1时，
资产组合的方差不管n为多大都等于2，这表明分散化没有好处。当资产组合中各项
资产的收益完全相关时，现有的风险都是系统风险。一般来说，当n足够大时， 8 a - 4
p
2 =
1
n
2 +
n - 1
n
2
p
2 =
1
n
2 +
n -1
n
cov
2 = 1
n i
2
i=1
n.
cov = 1
n(n -1)
cov(ri , rj )
i=1
n.
j =1
j 1i
n.
p
2 =
1
n
1
i =1 n
n.
i
2 +
1
n2
i =1
n.
j =1
j1i
n.
cov(ri
, rj)
p
2 = wiwj
i=1
n.
j=1
n.
cov(ri
, rj)
204 第二部分资产组合理论下载
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第8章最优风险资产组合
205
式显示系统风险为
2。
表8 a - 1中列出在证券数目增加，
＝0和
＝0 . 4两种情况下资产组合的标准差。表
中取
＝5 0%，正如人们所意料的，资产组合风险在
＝0 . 4时较大。更令人吃惊的是在
相关性为正的情况下，当n增加时，资产组合的风险并不怎么减少，证券的相关性限
制分散化的威力。
表8a-1 相关及非相关等权重资产组合的风险降低情况
＝0
＝0 . 4
整体规模最优组合标准差标准差
的降低
比例1 /n(%)(%)
的降低
(%)
1 1 0 0 5 0 . 0 0 1 4 . 6 4 5 0 . 0 0 8 . 1 7
2 5 0 3 5 . 3 6 4 1 . 8 3
5 2 0 2 2 . 3 6 1 . 9 5 3 6 . 0 6 0 . 7 0
6 1 6 . 6 7 2 0 . 4 1 3 5 . 3 6
1 0 1 0 1 5 . 8 1 0 . 7 3 3 3 . 9 1 0 . 2 0
11 9 . 0 9 1 5 . 0 8 3 3 . 7 1
2 0 5 11 . 1 8 0 . 2 7 3 2 . 7 9 0 . 0 6
2 1 4 . 7 6 1 0 . 9 1 3 2 . 7 3
1 0 0 1 5 . 0 0 0 . 0