得很大而且枯燥，但是对计算机程序来说却很容易，
并且这种计算机程序在期权市场预测上得到了广泛的使用。
当我们把一年分成越来越多的间隔时，年末股票可能价格的范围也随之膨胀了，
并且实际上，将最终形成熟悉的钟形分布。这可以从对一段时间内有三个间隔的股票
事件树的分析中看出：
s+++
s++
s++
s+
s-+
s
s--+
s
s-
s--
首先，注意当间隔数量增加时，股票可能的价格也增加了。其次，注意最后事件，
像s+ + + 或者s- - -是相对较少的，因为它们需要在三个子间隔内连续增加或减少。中间范
围的，像s+ +-能通过不只一条途径得到，价格两升一降的资产组合将会得到股价s+ +-。
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556 第六部分期权、期货与其他衍生工具
因此，中等范围的价值的可能性会更大一些。用二项式分布可以将每个结果都描述出
来，因此这种多时期的期权定价方法被称作二项式模型（binomial model）。
例如，初始股票价格为1 0 0美元，股票价格上涨或下跌的可能性相同，三时期内股
票价格可能增加5%而减少3%，我们能从以下的计算中得出股票价格的概率分布。三时
期内股票价格的变动有八种组合：+ + +，+ +-，+-+，-+ +，+- -，-+-，- -+，- - -。
每个都有1 / 8的可能性。因此，股价在最后期末的概率分布为：
事件概率 股票价格
3升1 / 8 1 0 0x( 1 . 0 5 )3= 11 5 . 7 6
2升1降3 / 8 1 0 0x( 1 . 0 5 )2x0 . 9 7 = 1 0 6 . 9 4
1升2降3 / 8 1 0 0x1 . 0 5x( 0 . 9 7 )2= 9 8 . 7 9
3降1 / 8 1 0 0x( 0 . 9 7 )3= 9 1 . 2 7
中间价值发生的可能性是两端
价值发生可能性的3倍。图2 1 - 5 a )是
这个例子的频率分布。该图接近于
钟形曲线。实际上，当时间间隔数
量增加时，如图2 1 - 5 b )所示，频率
分布更接近于对数正态分布，而非
标准正态分布[ 1 ]。
假定我们将股票价格上下变
动的时间间隔继续分小，最后事
件树的每个节点对应着无限小的
时间间隔，那么在这些时间间隔
内股票价格的变动也相应地非常
小。随着时间间隔的增加，最后
的股票价格将越来越接近对数正
态分布。那么两状态模型过于简
单化的缺点就可以通过时间间隔
的进一步细分来克服。
在任何一个节点，都可以建
立一个资产组合来对下一个时间
图21-5 概率分布
间隔的风险进行套期保值。接着，
在下一个时间间隔末，在到达下注：a) 三个时期后股票价格可能的结果及其概率。
一个节点上，又可以重新计算套初始股票价格为1 0 0美元，在每个时期，股票价格或上涨
5%，或下跌3%。
期保值率，对资产组合的构成进
b) 每个时期又分为两个间隔。在六个时期内，股票
行更新。通过不断改变套期保值
价格或上涨2 . 5%，或下跌1 . 5%。随着期间数的增加，股票
头寸，资产组合可以总保持在风
价格分布接近钟型分布。
险对冲的状态，在每个间隔都获
得无风险收益。这称为动态套期保值，也就是随时间不断调整套期保值率。动态套期
保值越来越完善，期权的定价过程也越来越精确。
[1] 实际上，这里引入了更复杂的考虑。只有当我们假设股价连续变动，也就是说在很小的时间间隔内股
价仅发生很小的变动时，这一过程的极限才是对数正态分布。这排除了极端事件，像由于戏剧化的信
息突然发生很大的价格变动。对这类跳动事件的处理，参见：john c. cox and stephen a. ross, “t h e
valuation of options for alternative stochastic processes”, journal of financial economics 3 (january-
march 1976), pp. 1 4 5 - 6 6 , 或者robert c. merton, “option pricing when underlying stock returns are
d i s c o n t i n u o u s ,” journal of financial economics 3(january-march 1976), pp. 125-44.
概率
未来股票
价格
未来股票
价格
概率
b)
a)
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第21章期权定价
557
概念检验
问题5：当期权的实值状态越深时，套期保值率是越大还是越小？(提示：记住套
期保值率是期权价格的变化与股票价格变化的比率。什么时候期权价格对股票价格的
变动更敏感？)
21.4 布莱克-舒尔斯期权定价模型
尽管我们介绍过的二项式模型方法要灵活得多，但这种方法在实际工作中需要用
计算机，而期权公式却要简单得多，没有二项式模型中的复杂的步骤，只要作两个假
设，公式就可以用了，这两个假设是无风险利率与股票价格的标准差在期权有效期内
保持不变。
21.4.1 布莱克-舒尔斯公式
金融经济学家一直在寻找一种实用的期权定价模型。最后，终于由布莱克、舒尔
斯[ 1 ]与默顿[ 2 ]发现了计算看涨期权价值的公式，舒尔斯与默顿也因此获得了1 9 9 7年诺贝
尔经济学奖[ 3 ]。现在，布莱克-舒尔斯定价公式(black-scholes pricing formula)已被期货
市场参与者广泛接受，该公式如下：
c0=s0 n(d1)-xe n(d2) ( 2 1 - 1 )
-r t
其中
1n(s0/ x) + (r + 2/2)t
d1 =
t
d2 = d1 -
t
式中c0 —当前的看涨期权价格；
s0 —当前的股票价格；
n(d)—标准正态分布小于d的概率，图2 1 - 6的阴影部分；
x—执行价格；
e—2 . 7 1 8 2 8，自然对数的底；
r—无风险利率(与期权的到期期限相同的安全资产的连续复利的年收益
率，与离散时间的收益率rf不同)；
t—期权到期时间；
l n—自然对数函数；
—股票连续复利的年收益率的标准差。
期权价格并不取决于股票的期望收益率。实际上，该公式中已经包含了股票价格
的信息，而股票的价格与股票的风险特性有关。这里的布莱克-舒尔斯公式假定股票不
支付红利。
尽管你会觉得布莱克-舒尔斯公式很复杂，但是我们可以从直觉上进行理解。把
n(d)部分看作看涨期权在到期处于实值的风险调整概率。首先，看一下2 1 - 1式，假设
两个n(d)均为1，我们就看到看涨期权被执行的可能性很高。看涨期权价值为s0 -xe -r t ，
这也是我们前面提到过的调整后的内在价值，s0 -p v (x)。这一点是很有意义的，如果
确实执行了，我们就获得了以s0为现价的股票的所有权，而承担了现值为p v (x)的债
[1] 3 fischer black and myron scholes, the pricing of options and corporate liabilities, journal of political
economy 81( may-june 1973).
[2] robert c. merton, theory of rational option pricing, bell journal of economics and management
science 4(spring 1973).
[3] 布莱克于1 9 9 5年去世。
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558 第六部分期权、期货与其他衍生工具
务，或以连续复利计算为xe -r t的债务。
现在再看2 1 - 1式，如果n(d)趋于零，意味着期权不会被执行，该等式说明看涨期
权价值为零。对于n(d)在0与1之间时，2 1 - 1式告诉我们，可把看涨期权价值看作是经
过到期时处于实值的概率调整后的潜在未来收益的现值。
那么，n(d)又是如何表示风险
调整概率的呢？这需要用到高级统
计学的知识。注意l n (s0/x)，在d1和
d2的分子中都出现了，它近似表示
期权现在实值与虚值的百分比。例
如，如果s0= 1 0 5，x= 1 0 0，期权实值
的百分比是5%，l n ( 1 0 5 / 1 0 0 ) = 0 . 0 4 9，
同理，如果s0= 9 5，则期权虚值的百
分比是5%，l n ( 9 5 / 1 0 0 ) =-0 . 0 5 1，分
母
t，用股票价格在剩余期限中的
标准差对期权的实值与虚值的百分
比进行调整。如果股价变动很小，
并且距到期的时间也所剩无几的时
候，给定比例的实值期权一般会保持原实值状态，因此，n(d1)与n(d2)代表期权到期时处
于实值的概率。
布莱克-舒尔斯公式很容易应用，假设想对一个看涨期权进行定价，已知条件如
下：
股票价格s0= 1 0 0 利率r= 0 . 1 0 (每年1 0%)
执行价格x= 9 5 期权期限t= 0 . 2 5 ( 3个月)
= 0 . 5 0 (每年5 0%)
首先计算：
ln(100/95)
+ (0.10 + 0.52 /2)′ 0.25
d1 =
= 0.43
0.5
0.25
d2 = 0.43 - 0.5 0.25 = 0.18
接下去查n(d1)与n(d2)，在统计书中可以查到正态分布表，如表2 1 - 2，查得
n( 0 . 4 3 ) = 0 . 6 6 6 4， n( 0 . 1 8 ) = 0 . 5 7 1 4。
于是，看涨期权价值为
c= 1 0 0x0.666 4-9 5 e-0 . 1 0x0 . 2 5x0.571 4=66.64-52.94 =13.70美元
概念检验
问题6：如果股票的标准差为0 . 6而不是0 . 5，计算看涨期权价格，并说明标准差越
大，期权价值越大。
表21-2 累积正态分布
图21-6 标准正态曲线
n(d)=阴影区
d n(d) d n(d) d n(d)
-3 . 0 0 0 . 0 0 1 3 -0 . 7 8 0 . 2 1 7 7 0 . 8 4 0 . 7 9 9 6
-2 . 9 5 0 . 0 0 1 6 -0 . 7 6 0 . 2 2 3 6 0 . 8 6 0 . 8 0 5 1
-2 . 9 0 0 . 0 0 1 9 -0 . 7 4 0 . 2 2 9 7 0 . 8 8 0 . 8 1 0 6
-2 . 8 5 0 . 0 0 2 2 -0 . 7 2 0 . 2 3 5 8 0 . 9 0 0 . 8 1 5 9
-2 . 8 0 0 . 0 0 2 6 -0 . 7 0 0 . 2 4 2 0 0 . 9 2 0 . 8 2 1 2
-2 . 7 5 0 . 0 0 3 0 -0 . 6 8 0 . 2 4 8 3 0 . 9 4 0 . 8 2 6 4
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第21章期权定价
559
(续)
d n(d) d n(d) d n(d)
-2 . 7 0 0 . 0 0 3 5 -0 . 6 6 0 . 2 5 4