出，所以对于不付红利的股票期权而言，c大于st -p v (x)，因

为x的现值小于x，所以，有

c≥st -p v (x)≥st -x

这意味着以价格c出售期权的收益一定大于执行期权的收益，所以出售期权使其

仍继续存在比执行期权而结束它在经济上更有吸引力。换句话说，不付红利的股票期

权继续有效比结束它更有价值。

552 第六部分期权、期货与其他衍生工具

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如果在到期日之前执行期权无法带来收益，那么提前执行毫无意义。由于美式期

权不会提前执行，所以提前执行的权利也就不相关了。于是我们可以认为美式看涨期

权与欧式看涨期权对不付红利的股票是相同的。如果我们发现欧式看涨期权有价值，

那么同样地，美式看涨期权也有价值。既然，定价模型适用于欧式看涨期权，也同样

适用于美式看涨期权，那么，情况就简化多了。

由于大多数股票是支付红利的，那么这一结果是否只具有理论价值呢？并不是的。

如果仔细加以考虑，你会发现实际上我们仅要求在期权到期日之前股票不支付红利。

对大多数期权来说，实际情况确实如此。

21.2.3 美式看跌期权的提前执行

对于美式看跌期权而言，肯定会有提前执行而达到最优的可能性。我们下面通过

一个简单的例子来加以说明。假定你购买了一份股票看跌期权，不久，公司破产，股

票价格变为零，这时你肯定会立即执行期权，因为股票价格已经不可能再跌了。立即

执行会获得执行价格，可以重新投资获利。推迟执行则意味着损失资金的时间价值，

在到期日之前执行看跌期权的权利是有价值的。

现在假定公司只是面临破产，股票跌至几美分，马上执行期权仍是最优选择，虽

然股票价格仍会下降，但仅仅是几美分而已，将来执行不过比现在执行多得到几美分

的收益。要在可能多获得的很少的收益与推迟执行带来的资金时间价值的损失之间进

行权衡。显然，当股票价格低于某些值时提前执行是最优选择。

从以上论述可知，美式看跌期权比欧式看跌期权的价值高，美式看跌期权允许在

到期日之前的任一时点执行，因为提前执行在某些情形下极为有用，会在资本市场上

获得正的价格。于是，在其他条件相同时，美式看跌期权的价格高于欧式看跌期权。

图2 1 - 4 a )给出了美式看跌期权的价值与股票现价s0之间的函数关系。一旦股价跌破

临界值(图中记作s* )，执行就是最优决策。在这一点，期权价值曲线与代表期权内在价

值的直线相切。当股价达到s*时，看跌期权被执行，其收益等于期权的内在价值。

a) 美式看跌期权价值

看跌期权价值

时间价值

b) 欧式看跌期权价值

图21-4 看跌期权价值与股票现价之间的函数关系

作为比较，欧式看跌期权的价值画在图2 1 - 4 b中，内在价值线并不是其渐近线。

因为欧式期权不允许提前执行，所以欧式看跌期权的最大值是p v (x)，发生在s0= 0时。

显然，时间越长，p v ( x )越小。

概念检验

问题3：根据以上讨论，解释为什么看跌-看涨期权平价关系只对不支付红利的股

票的欧式期权成立。如果股票不支付红利，为什么美式期权不满足该平价关系？

21.3 二项式期权定价

21.3.1 两状态期权定价

没有深厚的数学背景，要完全理解通常使用的期权定价公式是很困难的。但是，我

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第21章期权定价

553

们仍然可以通过一个简单的特例，来对期权定价进行有价值的考察。假定在期权到期时

股票价格只有两种可能：股票价格或者涨到给定的较高水平，或者降到给定的较低的价

格。虽然这可能看起来是太简单了，但是这可以帮助我们进一步理解更复杂与现实的模

型。而且，我们可以用这种方法来描述股票价格行为的更合理的特性。实际上，几个大

的财务公司已经使用这种简单模型的变型来对期权与具有期权特点的证券进行定价。

假定现在股票价格为1 0 0美元，年底的股票价格可能升至2 0 0美元，或者降至5 0美

元。该股票的看涨期权的执行价格为1 2 5美元，有效期为一年。利率是8%。如果年底

的股票价格下跌了，看涨期权持有者的收益将会是0；如果股票价格涨到了2 0 0美元，

期权持有者将会获得7 5美元的收益。

可用以下的“二叉树”加以说明：

200

75

100

c

50

0

股票价格看涨期权价值

将看涨期权的收益与一个由一股股票与以8%的利率借4 6 . 3 0美元组成的资产组合

的收益进行比较，这一资产组合的收益也取决于年末的股票价格：

(单位：美元)

年末的股票价值5 0美元2 0 0美元

减：贷款的本金与利率-5 0美元-5 0美元

总计0 1 5 0美元

我们知道，建立资产组合的现金支出是5 3 . 7 0美元：股票1 0 0美元，减去4 6 . 3 0美元

的借款。因此，这一组合的价值树为：

150

53.70

0

不管年底股票的价格是何值，这一资产组合的收益都是看涨期权收益的两倍。换句

话说，两份看涨期权正好可以复制出资产组合的收益。因此，两份看涨期权的价值应该

与建立资产组合的成本相同。于是，两份看涨期权应以相同的价格卖出。所以，有

2c= 5 3 . 7 0美元

即每份看涨期权的价格应为c= 2 6 . 8 5美元。因此，给定股票价格、执行价格、利

率与股票价格的波动性(即股票价格上下波动的幅度)，我们就能够得出看涨期权的公

平价值。

这种定价方法主要依赖复制的概念，由于股票年底有两种可能的价值，利用杠杆

的股票资产组合的收益复制了两份看涨期权的收益，因此，它们才具有相同的市场价

格。复制概念已成为大部分期权定价公式的后盾。对价格分布更复杂的股票来说，复

制技术相应地也更加复杂，但原理是相同的。

我们也可以从另一个角度来考察复制的作用。仍用前面的例子，我们发现，由一

股股票与出售两份看涨期权构成的资产组合，得到了完全的套期保值，它的年末价值

不受股票价格的影响：

(单位：美元)

股票价值5 0美元2 0 0美元

减：出售两份看涨期权的所得-0 -1 5 0美元

净收益5 0美元5 0美元

554 第六部分期权、期货与其他衍生工具

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投资者构造了一个无风险资产组合，其未来收益为5 0美元。它的价值一定等于5 0

美元的现值，即5 0美元/ 1 . 0 8 = 4 6 . 3 0美元。资产组合的价值等于股票多头1 0 0美元减去2

份出售的看涨期权的价值2c，应该等于4 6 . 3 0美元，因此1 0 0-2c= 4 6 . 3 0美元，c= 2 6 . 8 5

美元。

创造完全套期保值的能力是关键。套期保值锁定了年末的收益，它可用无风险收

益率来折现。用股票的价值来获得期权的价值，不需要知道期权或者股票的贝塔值或

者期望收益率。完全套期保值或者复制，使我们可以用不包含这些信息的股票现价来

表示期权价值。通过套期保值头寸，最终的股票价格就不会影响投资者的收益，所以

股票的风险与收益参数也不会受任何影响。

这个例子中的套期保值率是一股股票对两份看涨期权，或者说是半股股票对一份

看涨期权。对所出售的每份看涨期权来说，资产组合中必须保持半股股票以进行套期

保值。这个比率在这里简单解释如下，它是期权价值范围与股票价值范围的比率。期

权的价值可能为0，也可能为7 5美元，所以变动范围为7 5美元。股票价值可能为5 0美元，

或者2 0 0美元，变动范围为1 5 0美元。这个比率为7 5 / 1 5 0，即1 / 2，这正是套期保值率。

套期保值率等于范围的比率，因为在这个两状态的例子中，期权与股票具有完全

相关性。当期权与股票的收益完全相关时，完全套期保值要求期权与股票的比例仅由

相对波动性来决定。

对其他两状态期权问题，套期保值率的一般公式为：

c+- c-

h =

s+- s-

这里，c+或者c-分别是看涨期权在股票价格上涨与下跌时的价值，而s+ 与s-分别

是两状态下的股票价格。套期保值率为h，是期权与股票在期末可能的价值变动范围

的比率。如果投资者出售一份期权并且持有h股股票，那么该资产组合的价值将不受

股票价格的影响。在这个例子中，期权定价很容易：仅仅使套期保值资产组合的价值

等于已知收益的现值。

用上面的例子，期权定价技术将包括以下步骤：

1) 给定可能的年末股票价格，s+= 2 0 0与s-= 5 0，执行价格为1 2 5美元，计算c+= 7 5

与c-= 0。股票价格的变动范围为1 5 0美元，而期权价格的波动范围是7 5美元。

2) 套期保值率为7 5 / 1 5 0 = 0 . 5。

3) 由0 . 5股股票与一份期权空头组成的资产组合，年末的确定价值为2 5美元。

4) 年利率为8%、2 5美元的现值为2 3 . 1 5美元。

5) 让套期保值头寸的现值等于将来的确定收益的现值：

0 . 5s0 -c0= 2 3 . 1 5美元

5 0美元-c0= 2 3 . 1 5美元

6) 解出看涨期权的价值，c0= 2 6 . 8 5美元。

如果期权的价值被高估，譬如3 0美元，那么会怎样呢？会获得套利利润。以下是

套利的具体做法：

(单位：美元)

做法

对每个可能的股票价格，一年后的现金流

初始现金流s= 5 0 s= 2 0 0

1. 出售两份期权6 0 0 -1 5 0

2. 购买1股股票-1 0 0 5 0 2 0 0

3. 以年利率8%借入4 0美元4 0 -4 3 . 2 -4 3 . 2

总计0 6 . 8 0 6 . 8 0

虽然净初始投资为零，但一年后的收益是正值，并且是无风险的。如果期权被低

估了，我们只要采取相反的套利策略：购买期权，出售股票，消除价格风险。记住，

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第21章期权定价

555

用这种方法，套利赢利的现值正好等于期权价值高估部分的2倍。利率8%、6 . 8 0美元

的现值是6 . 3 0美元。因为该套利策略包含2份期权，每一个期权的赢利为3 . 1 5美元，正

好等于期权价格被高估的数额，即3 0美元减去公平价值2 6 . 8 5美元。

概念检验

问题4：假如看涨期权被低估了，譬如为2 4美元。阐明用来发现错误定价的套利

策略。并且证明每购买一份期权在一年之后可以获得3 . 0 8美元的无风险现金流。

21.3.2 两状态方法的推广

虽然两状态股票价格模型看起来很简单，但是我们可以将其推广，加入现实的假

设。首先，假定我们将一年分成两个6个月的时期，然后假定在任何一个时期，股票

都只有两个可能的价值。这里我们假定股价将增长1 0%或者将下降5%，股票的初始价

格为每股1 0 0美元，在一年中价格可能的路径为：

121

110

100

104.50

95

90.25

中间价为1 0 4 . 5 0美元，可通过两条路径获得：先增加1 0%，再降低5%；或者先降

低5%再增加1 0%。现在有三种可能的年末股票价值与期权价值。

c++

c+

c-+

c

c

c-

使用类似前面采用的方法，我们可以从c+ +与c+-得到c+，然后从c-+ 与c- -得到c-，..

最后再从c+ 与c-得到c。而且我们也没有理由就停止在6个月的时间间隔上，接下来我

们可以把一年分成四个3个月，或者1 2个1个月，或者3 6 5天，每一个时间段都假定是

一个两状态过程。虽然计算量变