动。
已发展出变形的布莱克-舒尔斯公式来对付以上的这些限制条件。
其次，在布莱克-舒尔斯模型中，必须要弄清公式中的各个参数。其中的四个值
─s0、x、t与r，都是很直接的。股价、执行价格、期限是给定的，利率是相同期限
的货币市场利率。
最后的一个输入变量是股票收益率的标准差，这不能直接观察到。必须从历史数
据，从情景分析，从其他期权价格中估计出来，我们在下面将讨论这个问题。
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第21章期权定价
561
我们在第5章讲过，股票市场收益率的历史方差可从n个观察值得到，其公式如
下：
2 = n (rt - r )2
n - 1 t =1 n .(n)
其中，r 是在样本期的平均收益率，在t天的收益率被定义为rt= l n (st/st-1)，与连续
复利一致(注意：一个比率取自然对数，其值近似于分子与分母的百分比差异，于是
l n (st/st-1)可以用来测度t-1期到t期的股票收益率)。历史方差一般用几个月的每日收益
来计算，因为标准差是估计出来的，所以真实的期权价格与算出的期权价格是有差异
的，这是由股票标准差的估计误差造成的。
事实上，市场参与者往往从不同的角度看期权定价问题。他们不是用所给的股票
标准差按照布莱克-舒尔斯公式去算期权价格，而是会问：如果我观察到的期权价格
与布莱克-舒尔斯公式计算出来的
期权价格一致的话，那么标准差
应该是多少呢？这就是期权隐含
的波动性（implied volatility），即
期权价格中隐含的股票的标准差
水平[ 1 ]。投资者可以判断，是否实
际的股票波动性超过了隐含的波
动性，如果超过了，则购买期权
会带来收益。如果实际的波动性
比隐含的波动性高，期权的公平图21-7 标准普尔5 0 0指数隐含的波动性
价格就要高于观察到的价格。与历史波动性的比较
另一个不同角度是比较相同
股票的两个到期时间相同但执行价格不同的期权，具有较高隐含波动性的期权相对要
贵一些，因为需要较高的标准差来调节价格。分析家认为应买入低隐含波动性的期权，
而出售高隐含波动性的期权。
图2 1 - 7表示了历史的与隐含的标准普尔5 0 0指数收益率的标准差的具体情况及二
者的比较，隐含的波动性是从根据指数所交易的期权合约的价格得到的。注意，尽管
两条图线走向相当一致，但在波动性的估计值上二者间有滑移。我们还应注意，二者
在整个时期波动的差别很大。因此，选择合适的波动值用在期权定价模型中是个很难
的问题，现在很多研究致力于寻找预测波动变动的新技术。这些新技术被称为a r c h
模型，它认为股票波动性的变化只是部分可预测的，通过分析近来股票价格波动的水
平与趋式，可以改善未来波动性的预测。
概念检验
问题7：考虑布莱克-舒尔斯定价为1 3 . 7美元，而实际价格为1 5美元的期权，其隐
含的波动性大于还是小于5 0%？
21.4.2 红利与看涨期权定价
我们已知道布莱克-舒尔斯公式要求股票不支付红利，当在期权到期之前股票支
付红利时，我们就要调整公式。红利的支付，提高了提前执行期权的可能性，对更接
近现实的支付红利的情况，定价公式变得比布莱克-舒尔斯公式更复杂。
我们可以由一些经验去近似求出期权价值。最初由布莱克建议的一种流行的方法，
[1] 这个概念的引入参见：richard e. schmalensee and robert r. trippi, “common stock vo l a t i l i t y
expectations implied by option premia, ”journal of finance 33(march 1978), pp 129-47。
隐含的波动性历史上3个月的波动性
562 第六部分期权、期货与其他衍生工具
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是将股票价格减去在到期前红利支付额的现值[ 1 ]，于是我们就可简单地用s0 -p v (红利)
代替s0。这样，通过这种调整就把红利对股价的最终影响考虑进来了。假定期权将持
有到期，则期权价值的计算同上。
这种方法对欧洲看涨期权更有效，因为该看涨期权要求必须持有到期。但是，对
于美式看涨期权就不适用了，因为美式看涨期权所有者可在红利支付前执行。假定在
红利支付日之前执行期权，那么股票的价值就比到期时期权的价值要高。尽管持有期
权至到期日有更长的有效时间，这会增大期权的价值，但是因为损失了红利的收入，
降低了股票在到期时的期望价值，从而降低了期权价值。
让我们举例说明。假如股票价格为2 0美元，在4个月内将支付1美元的红利，而该股
票的看涨期权在6个月后到期。有效年利率为1 0%，所以红利的现值为1美元/ ( 1 . 1 0 )1 / 3= 0 . 9 7
美元。布莱克建议我们可以用下面两种方法中的任意一种来计算期权价值：
1) 假定提前执行，代入实际股票价格2 0美元与4个月的到期期限(红利支付的时
间)，运用布莱克-舒尔斯公式计算。
2) 假定不会提前执行，代入用红利调整后的股票价格，2 0美元-0 . 9 7美元= 1 9 . 0 3
美元，与6个月的到期期限，运用布莱克-舒尔斯公式计算。
得出的两个值中的大者就是对期权价值的估计，也许提前执行是最优的。换句话
说，所谓的伪美式看涨期权价值(pseudo-american call option value)就是以上两者中的
大者。但是这种方法是不准确的，因为它假定期权持有者现在就作了一个不可改变的
决策何时来执行期权，而事实上这个决策在发出执行通知之前都是可以改变的[ 2 ]。
21.4.3 看跌期权定价
我们已经讨论了看涨期权的定价。我们可以通过看涨期权与看跌期权平价定理得
到布莱克-舒尔斯欧式看跌期权定价公式。我们只需简单地根据式( 2 1 - 1 )求出看涨期权
的价值，就可以得到：
p=c+ p v (x)-s0=c+xe -r t-s0 ( 2 1 - 2 )
为了与布莱克-舒尔斯公式一致，我们必须使用连续复利来计算执行价格的现值。
应用前面看涨期权例子中的数据：c= 1 3 . 7 0美元，x= 9 5美元，s= 1 0 0美元，r= 0 . 1 0，
= 0 . 5，t= 0 . 2 5；我们可以得到执行价格与到期时间都相同的股票欧式看跌期权的价值：
p= 1 3 . 7 0美元+ 9 5 e-0 . 1 0x0 . 2 5美元-1 0 0美元= 6 . 3 5美元
正如我们已注意到的，作为交易策略的一个步骤，我们会将此结果与实际的看跌
期权价格进行比较。
式( 2 1 - 2 )适用于不支付红利的股票的欧式看跌期权的估价。美式期权提供了提前
执行的机会，而且我们已经知道提前执行的权利是有价值的，这意味着美式期权比相
应的欧式期权更有价值。因此，式( 2 1 - 2 )仅仅是美式看跌期权真实价值的下限。即便
如此，这种近似的计算在很多应用中也算是很精确的了[ 3 ]。
[1] fischer black, “fact and fantasy in the use of options,” financial analysis journal 31 (july-august
1 9 7 5 ) .
[2] 支付红利的美式看涨期权的精确定价公式参见：richard roll, “an analytic valuation formula for
unprotected american call options on stocks with known dividends,” journal of financial economics
5 (november 1977)。这一技术得到修改，参见：robert geske, “a note on an analytical formula for
unprotected american call options on stocks with known dividends,” journal of financial economics
7 (december 1979)以及robert e. whaley,“on the valuation of american call options on stocks with
known dividends,”journal of financial economics 9 (june 1981)。这些文章都很难。
[3] 对美式看跌期权的更完全的论述参见：r. geske and h. e. johnson, “the american put va l u e d
a n a l y t i c a l l y,”journal of finance 39 (december 1984), pp.1511 - 2 4 .
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第21章期权定价
563
21.5 布莱克-舒尔斯公式的运用
21.5.1 套期保值率与布莱克-舒尔斯公式
在上一章中，我们考察了对i b m公司的两种投资：1 000 股i b m股票与10 000 份
i b m股票的看涨期权。我们发现，与全部持有股票相比，看涨期权对股票价格的变化
更敏感。为了更加准确地分析对股票价格的总体风险，很有必要把相对敏感性量化。
使我们能够对具有不同执行价格与到期期限的期权资产组合的总体风险进行归纳的工
具就是套期保值率。期权的套期保值率(hedge ratio)就是股票价格上升1美元时期权价
格的变化量。所以，看涨期权的套期保值率是正值，而看跌期权的套期保值率是负值。
套期保值率通常又称为期权的得尔塔（d e l t a）。
如图2 1 - 8所示，如果给出期权价格与股票价格的函数曲线，那么套期保值率就是
曲线在当前股票价格上的斜率。例如，假设当股票价格为1 2 0美元时，曲线的斜率为
0 . 6。则当股票价格上升1美元时，期权价格会近似地增加0 . 6美元，如图所示。
每出售一份看涨期权，就需要0 . 6股股票来对其进行套期保值。例如，某人出售1 0
份看涨期权并且持有6股股票，根据0 . 6的套期比率，股票价格每升高1美元，股票的收
益增加6美元，同时看涨期权则损失1 0x0 . 6美元，即6美元。可见股票价格的变动没有
引起总财富的变动，这就使头寸
得到了套期保值。投资者根据股
票与期权价格的相对变动按比例
地持有股票与期权，就可以实现
对资产组合的套期保值。
布莱克-舒尔斯套期保值率
非常容易计算，看涨期权的套期
保值率是n(d1)，看跌期权的套期
保值率为n(d1)-1。我们将n(d1)
定义为布莱克-舒尔斯公式( 2 1 - 1
式)的一部分，n(d)代表标准正
态分布曲线到d 的区域的面积。
所以，看涨期权的套期保值率总
是正值且小于1 . 0，而看跌期权
的套期保值率是负值，且绝对值小于1 . 0。
从图2 1 - 8中也可看出看涨期权价值函数的斜率小于1 .0 ，只有当股票价格比执行
价格高出很多时才接近1 . 0。这就告诉我们，当股票价格变化为1时，期权价格的变化
要小于1，为什么会这样呢？假设目前期权处于实值，那么期权被执行是绝对肯定的，
在这种情况下，股票价格上升1美元，期权价格也会上升1美元。但如果看涨期权到期
时是虚值，即使股票价格上升1美元，看涨期权的最后收益也不会增加，从而看涨期
权价值不会相应地上涨1美元。
套期保值率小于1 . 0这一事实与我们前面观察的期权的杠杆作用与对股票价格波动的