就是z≤a的概率。中间的
区域是a与b之间的密度面积。如果我们把这部分面积加上a的累积分布，我们就得到
了到达b的总密度面积，也就是z落在b左边的概率。于是a、b之间的面积即为z落在a和
b之间的概率。
利用相同的逻辑，我们找到了z>b的概率。我们已经知道z≤b的概率为n（b）。由
于复合事件“小于等于b”和复合事件“大于b”是互斥的而且是完全的（指两个事件
包含了所有可能的结果），因此他们的概率之和为1 . 0；于是要计算z>b的概率，我们只
要简单地用1减去z≤b的概率即可。正式地，我们有：p r（z>b）＝1-n（b）
让我们再来看图a - 1，密度函数下b到正无穷之间的区域面积就是密度函数整个面
积（等于1）与负无穷到b之间面积的差。
正态密度函数已经足够地复杂，以至于它的累积函数（即其积分）并没有一个很
精确的显式解。它必须求助于近似方法才能得到。就像本书中表2 1 - 2那样，我们已经
把任何z值所对应的n（z）值求了出来，并制成表供查询。
为了进一步说明问题，下面我们计算标准正态分布的概率：
p r (z≤-0 . 3 6 )＝n(-0 . 3 6 )＝z小于等于-0 . 3 6的概率
p r (z≤0 . 9 4 )＝n( 0 . 9 4 )＝z小于等于0 . 9 4的概率
p r (-0 . 3 6≤z≤0 . 9 4 )＝n( 0 . 9 4 )-n(-0 . 3 6 )＝z落在区间[-0 . 3 6，0 . 9 4 ]之间的概率
p r (z> 0 . 9 4 )＝1-n( 0 . 9 4 ) =z大于0 . 9 4的概率
752 第八部分附录
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利用表2 1 - 2的标准正态累积函数（有时也称为正态分布面积）和图a - 2，我们得
到：
n（-0 . 3 6）＝0.359 4
n（0 . 9 4）＝0.826 4
如图a - 2所示，-0 . 3 6和0 . 9 4之间的面积就是z落在[-0 . 3 6，0 . 9 4 ]之间的概率，因此
有：
p r (-0 . 3 6≤z≤0 . 9 4 )＝n( 0 . 9 4 )-n(-0 . 3 6 )＝0 . 8 2 6 4-0.359 4＝0 . 4 6 7 0
z大于0 . 9 4的概率就是图a - 2中0 . 9 4与正无穷大之间的面积。它等于整个面积与负
无穷大到0 . 9 4之间面积的差。因此有：
p r（z> 0 . 9 4）= 1-n（0 . 9 4）＝1-0.826 4＝0.173 6
最后，还有一个问题，如果z小于等于a的概率为p，那么a的值为多少？
我们假定得到a的函数为Ф(p)，于是就有：
如果Ф(p)＝a，则p＝n（a） ( a - 7 )
比如说，假设现在的问题是：累积密度为0 . 5的值为多少？只要看一下图a - 2，我
们就知道负无穷到零（即期望值）之间的面积为0 . 5，于是我们就有：
Ф（0 . 5）＝0 因为n( 0 )＝0 . 5
同样地
Ф(0.826 4)＝0 . 9 4
因为
n( 0 . 9 4 )＝0.826 4和Ф(0.359 4)＝-0 . 3 6
我们可以验证一下。从表2 1 - 2中得出Ф（0.655 4）＝0 . 4，这意味着具有累积分布
密度为0.655 4的值是z＝0 . 4 0。
图a-2 概率与累积正态分布
非标准正态分布：假定某种股票的月收益大致服从均值为0 . 0 1 5 (每月1 . 5%)、标准
差为0 . 1 2 7 (每月1 2 . 7%)的正态分布。那么在某月中收益率小于零的概率为多大？注意
由于收益率为服从正态分布的随机变量，它的累积分布密度就可以用数字方法得到。
标准正态分布表可以应用于任何一个正态分布的变量。
任一个随机变量x，可以通过下式而替换成一个新的标准化的随机变量x*：
x - e( x)
x* = a-8
(x )
注意，我们对x所做的步骤是：（1）减掉期望；（2）乘以标准差的倒数1 / [ (x) ]。
根据我们前面的讨论，对随机变量来说，加上和乘以一个常数的替换效果就是使替换
后的随机变量具有零均值和单位方差。
e(x) - e(x)
(x)
e(x*) == 0;
(x*) == 1
( x)
(x )
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附录a 定量计算的复习
753
从正态分布的固有性质我们知道，如果x服从正态分布，那么x*也服从正态分布。
一个正态分布的随机变量可以由两个参数完全确定：它的期望与标准差。对于x*来说，
它们分别为0与1 . 0。当我们对一个随机变量减去其期望然后再除以其标准差以后，我
们就把它标准化了。也就是说，我们把它转化成了一个服从标准正态分布的随机变量。
这个方法在对正态分布（近似正态分布）随机变量进行处理上应用得非常广泛。
回到我们先前考虑的股票。我们知道如果把月收益率减去0 . 0 1 5，然后再除以
0 . 1 2 7，所得的随机变量就是服从标准正态分布的。我们现在可以确定某月收益率小于
等于零的概率。我们知道，有
r - 0.015
z =
0.127
其中r为股票的收益率，z服从标准正态分布。所以，如果r＝0，z就应该为：
0 - 0.015
z( r = 0) = =-0.1181
0.127
当r＝0时，相应的标准化随机变量z＝-11 . 8 1%，为一负数。“r小于等于零”的事
件应与“z小于等于-0 . 118 1 ”等价。计算后者的概率就能够解出我们要求的问题。它
的概率即为n（-0 . 118 1），利用标准正态表我们得到：
p r（r≤0）=n（-0 . 118 1）＝0 . 5-0 . 0 4 7＝0 . 4 5 3
结果很有意义。回忆起r的期望值为1 . 5%。所以，由于r小于等于1 . 5%的概率为0 . 5，
r小于等于0的概率应该接近于0 . 5，但可能会再低一些。
置信区间：由于我们的股票具有较大的标准差，因此我们有理由去怀疑月收益率
绝对数值的可靠性。对于这个问题，一种量化的回答方法可以解决：“如果某股票收
益率落在某区间的概率为9 5%，那么该区间是什么？”这个区间也被称作9 5%的置信
区间。
一种符合逻辑的区间是以期望值为其中心的，因为r本身就是关于期望值对称的
正态分布随机变量。把所求区间记为
[e（r）-a，e（r）＋a]＝[ 0 . 0 1 5-a，0 . 0 1 5＋a]
它的区间长度为2a。r落在此区间内的概率可用下式表出：
p r ( 0 . 0 1 5-a≤r≤0 . 0 1 5＋a)＝0 . 9 5
要解决这个问题，我们首先从标准正态分布的随机变量入手。服从标准正态分布
的随机变量具有零期望与单位方差。
标准正态分布随机变量z的9 5%置信区间是什么？由于变量的分布关于零对称，因
此上面的计算式变为：
p r （ -a * ≤ z ≤ a 0 ） = n
（a*）-n（-a0）= 0 . 9 5
图a - 3有助于你对上式累
积分布差所代表的意义有更好
的了解。落于此区间外的概率
为1-0 . 9 5＝0 . 0 5。由于正态分
布的对称性，z小于等于-a*的
概率为0 . 0 2 5，而且z≥a*的概
率亦为0 . 0 2 5。于是我们可以
用下式来解出a*：
-a*＝Ф（0 . 0 2 5），其等价于n（-a*）＝0 . 0 2 5
我们可以对这个解决思路作如下总结。如果我们要寻找一个置信水平为9 5%的置
信区间，我们可以定义为r落于置信区间之外的概率。由于具有对称性，
的一半就是
图a-3 置信区间与标准正态分布
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第八部分附录
754
其落于置信区间右端的概率。同时其落于置信区间左端的概率亦为
/ 2。所以与p之间
的关系为：
=1-p＝0.05
/ 2＝( 1-p) / 2＝0 . 0 2 5
我们这里使用
/ 2的原因就是考虑到分布的两个尾部把r以外的区域平分了。不含r
值的任一尾部都具有
/ 2的面积。值
=1-p表示的是不含r值所有区域的面积。
为了确定标准正态分布随机变量的置信区间下边界z＝Ф（a/ 2）。我们通过标准正
态累积分布值0 . 0 2 5来确定z 值。查表得z =-1 . 9 6 ，于是我们推断出-a*＝-1 . 9 6 ，
a*=1 . 9 6，z的置信区间为：
é .
.êe(z) -f è2
.
., e(z) +f è
.
2 .
.
.
u
u =[-f(0.025),f(0.025)]=[-1.96,1.96]
为了得到非标准正态分布随机变量r的区间边界，我们只要利用关系式r＝z
(r)＋
e(r)＝Ф(
/ 2 ) (r)＋e(r)来转化z的边界即可。注意，我们迄今为止都是设期望值为置
信区间的中心，然后以其一定数量的标准差向两边拓展。标准差的数量取决于我们允
许其落于置信区间之外的概率（
），或者就是其落于置信区间的概率（p）。通过加减
1 . 9 6 (即z=±Ф（0 . 0 2 5）)，我们得到期望值两边的距离为±1 . 9 6x0 . 1 2 7＝0 . 2 4 9，于是
我们得到了置信区间：
é
(r)fè
.
.
. , e(r) + (r)f.
è .
.u
u =[e(r) -0.249, e(r ) +0.249] =[-0.234,0.264]
êe(r) -
.
22 .
é
以满足于p =1-= pr e(r) - ( r)fè
.
2 .
.
≤r ≤e(r) + (r)fè
.
2 .
.
.
u
u
.ê
对于我们的股票（期望值为0 . 0 1 5，标准差为0 . 1 2 7）来说，也就是：
p r [-0 . 2 3 4≤r≤0 . 2 6 4 ]＝0 . 9 5
注意到由于股票收益率的标准差较大，9 5%的置信区间的宽度竟达到了4 9%。
利用该例的一个变体，我们再复习一下计算过程。假设我们要求一个资产组合年
收益9 0%的置信区间，其年收益率的期望值为1 . 2%。标准差为5 . 2%。
该例的解为：
pr
é
êe(r) - (r)fè
.1 -p
.
.
≤rp≤e( r) + (r)fè
.1 - p
.
.u
u
.
22 .
=pr[0.012-0.052 ′1.645≤rp≤0.012 +0.052 ′1.645]
= pr[ -0.073 5 ≤rp≤0.0975]=0.90
因为该资产组合的风险较低，而且我们要求落于所求区间的概率为9 0%（而非
9 5%），所以该置信区间的宽度仅为2 . 4%
对数正态分布：采用正态分布来描述股价及收益率存在着两个不足。首先，尽管
正态分布允许随机变量取任何值（包括负值），但实际的股价不可能为负。其次，正
态分布不适于计算复利。而对数正态分布解决了这两个问题。
对数正态分布描述了一个不断增长的随机变量，它的增长率为一正态随机变量。
因此，一个对数正态分布随机变量的生成过程反映了连续计算复利的特征。
假定某股票以年连续复利（annual continuously compounded，a