c c）计算的收
益率服从正态分布，且其期望值为
＝0 . 1 2，标准差为
＝0 . 4 2，年初的股价为p0 ＝1 0
美元，利用连续复利(参见第5章附录)，如果年复利rc ＝0 . 2 3，则年末的股价应为：
p1 ＝p0 ex p (rc)＝1 0e0 . 2 3＝1 2 . 5 8 6美元
其等价的有效年利率为
r =
p1 -
p0
p0 =e rc -1 =0.2586 (或2 5 . 8 6%)
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附录a 定量计算的复习
755
这就是服从对数正态分布的年利率r的实际意义。注意，尽管年连续复利rc可能为
负，但期末股价p1不可能为负。
服从对数正态分布的金融资产具有两个重要的特性：它们的期望收益以及考察期
长度的可变性。
服从对数正态分布资产的期望收益：一个对数正态分布股票的期望年收益为：
e(r) = e x p (
+
2/ 2 )-1 = e x p ( 0 . 1 2 + 0 . 4 22/ 2 )-1 =e0 . 2 . 8 2-1 = 0 . 2 3 1 5 (或2 3 . 1 5%)
这只是关于分布统计值的一个数学特性。鉴于此，一个有用的统计量
*定义如下：
2
* =
+= 0.208 2
2
当分析家们提到对数正态分布资产年复利的期望时，他们一般是指
*。通常这份
资产的年复利就被认为服从期望是
*、标准差为的正态分布。
考察期间长度的可变性：对数正态分布允许资产持有期的变动。假定我们希望能
计算月收益，而非年收益。我们用t来表示我们要求的时间段，为方便起见，t用分数
（以年为单位1）来表示；那么在比例中我们就设t= 1 / 1 2。为了把年收益的分布转化成t
时段收益的分布，我们只需要把原分布的期望与方差乘以t即可（比例中t= 1 / 1 2）。
在我们这个例子中，股票月连续复利的期望和标准差为：
(月)＝0 . 1 2 / 1 2＝0 . 0 1 (或者说每月1%)
（月）＝0 . 4 2／
12 ＝0.121 2（或每月1 2 . 1 2%）
*（月）＝0.208 2／1 2＝0.017 35（或每月1 . 7 3 5%）
注意我们在把年转化为月时，方差应除以1 2；因此标准差应除以
12 。
同样地，我们可以把一个非年利的分布转化为一个以年利计算的分布。例如，假
设股票周连续复利服从正态分布，且
*＝0. 0 0 3，
＝0 . 0 7，于是年连续复利分布的各
项指标为：
*＝52x0 . 0 0 3＝0 . 1 5 6 (或每年1 5 . 6%)
＝
52 x0 . 0 7＝0 . 5 0 4 8 (或每年5 0 . 4 8%)
在实际应用中，为了得到标准正态分布的连续复利r，我们通常取原始收益率加
1 . 0后所得和的对数：
r= l o g（1 +r）
在短时期内，原始收益率很小，所以连续复利r也会与原始收益r非常相近。所以
对于一个月或短于一个月的期间来说，这个转换并不是必需的。也就是说，用正态分
布的股票收益率来近似已经足够精确了。但是对于一个较长的时期来说，这个转换还
是很有必要的。
a.2 分析分布特征的统计方法
迄今为止我们的分析都是“向前看”，或者如系统经济学家所说的“以过去推知
未来”。我们已经讨论了概率、期望值与惊奇。如果我们假设决策结果的分布遵循一
个相对简单的公式，而且我们对该分布与参数也了如指掌，那么我们就能较容易、较
准确地进行分析了。
投资管理者必须让他们自己确信这些假设都是合理的，而他们是通过长时期对相
关随机变量观测值的积累来达到这一点的。为了做出最优决策，股票收益率在以前的
分布是他们必须知道的一个要素。确实，收益率的分布随着事件在不断改变。但是，
一个不太“古老”的样本应该能够对下一期的收益率分布及参数提供相关的信息。在
这一节中，我们介绍一些描述分布的统计量，它们也被称为历史样本的组织分析。
a.2.1 柱状图、盒式描点与时间序列描点
表a - 3列出了两种主要资产：标准普尔5 0 0指数与长期政府债券资产组合在1 9 2 6年
到1 9 9 3年的年超额收益（超过国库券收益部分）。
756 第八部分附录
表a-3 股票及长期国债(到期溢价)的超额收益(风险溢价)
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年份股权风险溢价债券到期溢价年份股权风险溢价债券到期溢价
1 9 2 6 8 . 3 5 4 . 5 0 1 9 6 3 1 9 . 6 8 -1 . 9 1
1 9 2 7 3 4 . 3 7 5 . 8 1 1 9 6 4 1 2 . 9 4 -0 . 0 3
1 9 2 8 4 0 . 3 7 -3 . 1 4 1 9 6 5 8 . 5 2 -3 . 2 2
1 9 2 9 -1 3 . 1 7 -1 . 3 3 1 9 6 6 -1 4 . 8 2 -1 . 11
1 9 3 0 -2 7 . 3 1 2 . 2 5 1 9 6 7 1 9 . 7 7 -1 3 . 4 0
1 9 3 1 -4 4 . 4 1 -6 . 3 8 1 9 6 8 8 . 5 8 -5 . 4 7
1 9 3 2 -9 . 1 5 1 5 . 8 8 1 9 6 9 -1 5 . 0 8 -11 . 6 6
1 9 3 3 5 3 . 6 9 -0 . 3 8 1 9 7 0 -2 . 5 2 5 . 5 7
1 9 3 4 -1 . 6 0 9 . 8 6 1 9 7 1 9 . 9 2 8 . 8 4
1 9 3 5 4 7 . 5 0 4 . 8 1 1 9 7 2 1 5 . 1 4 1 . 8 4
1 9 3 6 3 3 . 7 4 7 . 3 3 1 9 7 3 -2 1 . 5 9 -8 . 0 4
1 9 3 7 -3 5 . 3 4 0 . 0 8 1 9 7 4 -3 4 . 4 7 -3 . 6 5
1 9 3 8 3 1 . 1 4 5 . 5 5 1 9 7 5 3 1 . 4 0 3 . 3 9
1 9 3 9 -0 . 4 3 5 . 9 2 1 9 7 6 1 8 . 7 6 11 . 6 7
1 9 4 0 -9 . 7 8 6 . 0 9 1 9 7 7 -1 2 . 3 0 -5 . 7 9
1 9 4 1 -11 . 6 5 0 . 8 7 1 9 7 8 -0 . 6 2 -8 . 3 4
1 9 4 2 2 0 . 0 7 2 . 9 5 1 9 7 9 8 . 0 6 -11 . 6 0
1 9 4 3 2 5 . 5 5 1 . 7 3 1 9 8 0 2 1 . 1 8 -1 5 . 1 9
1 9 4 4 1 9 . 4 2 2 . 4 8 1 9 8 1 -1 9 . 6 2 -1 2 . 8 6
1 9 4 5 3 6 . 11 1 0 . 4 0 1 9 8 2 1 0 . 8 7 2 9 . 8 1
1 9 4 6 -8 . 4 2 -0 . 4 5 1 9 8 3 1 3 . 7 1 -8 . 1 2
1 9 4 7 5 . 2 1 -3 . 1 3 1 9 8 4 -3 . 5 8 5 . 5 8
1 9 4 8 4 . 6 9 2 . 5 9 1 9 8 5 2 4 . 4 4 2 3 . 2 5
1 9 4 9 1 7 . 6 9 5 . 3 5 1 9 8 6 1 2 . 3 1 1 8 . 2 8
1 9 5 0 3 0 . 5 1 -1 . 1 4 1 9 8 7 -0 . 2 4 -8 . 1 6
1 9 5 1 2 2 . 5 3 -5 . 4 3 1 9 8 8 1 0 . 4 6 3 . 3 2
1 9 5 2 1 6 . 7 1 -0 . 5 0 1 9 8 9 2 3 . 1 2 9 . 7 4
1 9 5 3 -2 . 8 1 1 . 8 1 1 9 9 0 -1 0 . 9 8 -1 . 6 3
1 9 5 4 5 1 . 7 6 6 . 3 3 1 9 9 1 2 4 . 9 5 1 3 . 7 0
1 9 5 5 2 9 . 9 9 -2 . 8 7 1 9 9 2 4 . 1 6 4 . 5 4
1 9 5 6 4 . 1 0 -8 . 0 5 1 9 9 3 7 . 0 9 1 5 . 3 4
1 9 5 7 -1 3 . 9 2 4 . 3 1
1 9 5 8 4 1 . 8 2 -7 . 6 4 样本均值8 . 5 7 1 . 6 2
1 9 5 9 9 . 0 1 -5 . 2 1 标准差2 0 . 9 0 8 . 5 0
1 9 6 0 -3 . 1 3 11 . 1 2 最小值-4 4 . 4 1 -1 5 . 1 9
1 9 6 1 2 4 . 7 6 -1 . 1 6 最大值5 3 . 6 9 2 9 . 8 1
1 9 6 2 -11 . 4 6 4 . 1 6
资料来源：芝加哥大学证券价格研究中心。
理解这些数据的一种方法是把它们画在图上，一般是作成柱状图或频率分布图。
表a - 3中6 8个观测值被作成了如图a - 4所示的频率分布图。这节我们要根据以下步骤及
原则来得到频率分布图：
. 随机变量取值的值域一般被平均分成几个相对较小的子值域。间隔的多少取决
于可得观测值的数量。表a - 3提供了6 8个数据，因此1 0分法（即1 0个间隔值域）看来
已经足够。
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附录a 定量计算的复习
757
. 在第一个间隔值域中作出一个长方形，长方形的高度表示在该值域内观察值出
现次数的多少。
. 如果观测大多都集中在整个值域中的一小部分，那么该值域就可以被分成不相
等的间隔。在这种情况下，各间隔观测值的频率大小就由间隔中所作长方形的面积来
表示（但这并不是我们这里所要讨论的例子）。
. 如果样本是具有代表性的，那么该频率分布图的形状就可以揭示随机变量真实
的概率分布了。我们所有的6 8个观测值并不是一个大样本，但是频率分布图的大致形
状确实说明了收益率大致服从一个正态或对数正态的分布。
另外一个通过作图把样本信息体现出来的方法是盒式描点法。图a - 5就是盒式描
点的例子，它使用的同样是表a - 3的数据。盒式描点是一种能体现样本分布离散性质
的好方法。一个通常使用的散布性质指标是“内四分值域”。我们可以回忆一下值域
这种最原始的散布指标，它是观测值中最大值与最小值之间的差。由于它很可能会由
两个最极端的观测值所决定，因此这个指标并不可靠。
内四分值域是关于值域概念的一个较令人满意的简单变体，它由样本排序后最低
1 / 4与最高1 / 4两者之间的差来确定。对于最低1 / 4的观测值来说，样本中有2 5%的观测
值小于它；同样，在最高1 / 4的观测值上面，存在2 5%的大于它的观测值。于是内四分
值域就是样本中间5 0%观察值所组成样本的值域。样本散布度越高，这两个值之间的
差距就越大。
a)
b)
图a-4
a) 股权风险溢价的历史数据柱状图b) 债券到期溢价的历史数据柱状图
资料来源：the wall street journal, october 15, 1997.
在盒式描点图中，水平的虚线表示中位数，中间的方盒表示内四分值域，垂直线则
表示从方盒延伸出去的幅度。垂直线所表示的延伸值域一般只限制于内四分值域的1 . 5倍。
这样许多极端的观测值（图中以分离的点表示）就只能被视