为远离中心的非常规点。
作为一次概念检验，验证一下表a - 3的原始数据与图a - 5的方盒描点作图，并与下
列数字作比较。
第八部分附录
758
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收益率(%)
股票债券
图a-5 年股权风险溢价与长期债券(到期)风险溢价的盒式描点图
股权风险溢价债券到期溢价
最低的极端点-4 4 . 4 1 -1 5 . 1 9
-3 5 . 3 4 -1 3 . 4 0
-3 4 . 4 7 -1 2 . 8 6
-2 7 . 3 1 -11 . 6 6
-2 1 . 5 9 -11 . 6 0
-1 9 . 6 2 -8 . 3 4
-1 5 . 0 8 -8 . 1 6
-1 4 . 8 2 -8 . 1 2
-1 3 . 9 2 -8 . 0 5
-1 3 . 1 7 -8 . 0 4
-1 2 . 3 0 -7 . 6 4
-6 . 3 8
-5 . 7 9
-5 . 4 7
-5 . 4 3
-5 . 2 1
最低1 / 4的分界点-4 . 7 9 -3 . 3 3
中位数8 . 7 7 1 . 7 7
最高1 / 4的分界点2 2 . 6 8 5 . 6 4
最高的极端点2 9 . 9 9 8 . 8 4
3 0 . 5 1 9 . 7 4
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附录a 定量计算的复习
759
(续)
股权风险溢价债券到期溢价
3 1 . 1 4 9 . 8 6
3 1 . 4 0 1 0 . 4 0
3 3 . 7 4 11 . 1 2
3 4 . 3 7 11 . 6 7
3 6 . 11 1 3 . 7 0
4 0 . 3 7 1 5 . 3 4
4 1 . 8 2 1 5 . 8 8
4 7 . 5 0 1 8 . 2 8
5 1 . 7 6 2 3 . 2 5
5 3 . 6 9 2 9 . 8 1
内四分值域2 7 . 4 7 8 . 9 7
内四分值域的1 . 5倍4 1 . 2 0 1 3 . 4 5
从：-11 . 8 4 -4 . 9 5
到：2 9 . 3 7 8 . 4 9
最后就是第三种作图方法：时间序列描点法，它能够揭示经济变量随时间变化的运
动规律。图a - 6是根据表a - 3作的股票及债券超额收益时间序列点图。尽管我们的眼睛已
经习惯于看到由时间序列生成的随机形状，但考察一般长时期内时间序列的变化趋势却
能给我们提供一个有用的信息。有时通过一些正规的统计分析，这样的检验就会奏效。
a)
b)
图a-6
a) 股权风险溢价( 1 9 2 6 ~ 1 9 9 3年）b) 债券到期溢价( 1 9 2 6 ~ 1 9 9 3年）
760 第八部分附录
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a.2.2 样本统计量
假设从1 9 2 6年至1 9 9 3年这6 8年中，股票收益的概率分布一直没有变化。现在我们
希望能从表a - 3这6 8个股票年超额收益的观测值中得到关于概率分布的某些信息。
表中的样本值是否为特定概率分布下的独立观测值，这是一个很关键的中心问题。
如果它们确实是，那么所得的统计分析结果就比较正确。我们的分析都建立在这个假
设之上。在许多情况下，金融市场上的实证研究能证实这个前提假设。
从样本均值来估计期望收益：期望收益的定义告诉我们，样本均值应该可以作为
样本期望值的一个较好的估计。事实上，在期望值的众多定义中，有一个定义就是当
观测值个数趋于无穷时的样本均值。
假定表a - 3中的收益样本为rt，t= 1，.，t= 6 8，那么年超额收益期望值的估计即为
r =
1 .rt = 8.57%
t
r上的横杠表示它是期望值的估计。从直觉上来看，样本容量越大，样本均值作
为期望估计值的可靠性也就越大；而随机变量的的标准差越大，均值作为期望估计期
的可靠性也越小。下面我们将更详细地讨论这个性质。
估计高阶矩：以样本均值来估计期望的原理同样也适用于对更高阶矩所进行的估
计。回忆一下，高阶矩的定义就是随机变量对期望偏差若干次方的期望。比如说，方
差（二阶矩）是偏差二次方的期望。于是，样本观测值对样本平均的偏差进行平方后，
平方的平均值s2即为方差的估计。
21 . 1 . 2
s = ( rt - r )2 = ( rt - 0.087 5)= 0.04368(s = 20.90%)
t -1 67
其中r 即为样本均值。偏差平方取平均值时分母采用了t-1＝6 7，这纯粹是一个
技术上的原因。如果我们除以t，那么方差的估计就会偏小，偏小因子为(t-1 ) /t。同
时，对高阶矩来说，样本容量越大，真实标准差越小，估计值的可靠性也就越大。
a.3 多随机变量的统计分析
资产组合的构建需要将许多随机变量进行加总。资产组合的收益率就是各个体资
产收益率的加权平均。因此对于资产组合分析来说，理解和量化各随机变量之间的独
立性是相当重要的步骤。
在本节中，我们首先回到情景分析法，然后再考虑如何从样本中获取信息。
a.3.1 随机变量间关系的一个基本指标：协方差
在表a - 4中，我们把安休瑟-布希公司股票及其期权的收益率情况分析结果作了一
下总结。对于随机变量加一常数或乘以一个常数的情形，我们早已熟悉了。但当我们
把两个随机变量加在一起，结果会怎样呢？假如我们现在把股票收益加在看涨期权收
益之上，我们于是得到了一个新的随机变量，并把它记为r（s＋c）＝r（s）＋r（c），
其中r（s）为股票收益，r（c）为看涨期权收益。
表a-4 安休瑟-布希公司股票及期权收益的概率分布
项目情景1 情景2 情景3
概率0 . 2 0 0 . 5 0 0 . 3 0
收益率（%）
股票2 0 3 0 5 0
看涨期权-1 0 0 -1 0 0 4 0 0
看跌期权5 0 -2 5 -1 0 0
e(r) 2
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附录a 定量计算的复习
761
(续)
项目情景1 情景2 情景3
股票0 . 3 4 0 0 . 111 4 0.012 4
看涨期权0 . 5 0 0 2.291 3 5.250 0
看跌期权-0 . 3 2 5 0.525 0 0.275 6
由定义可知，该合成随机变量的期望值为：
e[r(s＋c) ]＝.p r (i)ri(s＋c) ( a - 1 0 )
把r(s+c)的定义代入等式a - 1 0，我们有：
e[r(s＋c) ]＝.pr(i) [ri(s)＋ri(c) ]＝.p r (i)ri(s)＋.p r (i)ri(c)
＝e[r(s) ]＋e[r(c) ] ( a - 11 )
也就是说，两个随机变量和的期望值等于两个随机变量期望值的和。对于方差，
这句话还适用吗？回答是“不”，这也是资产组合理论中最重要的事实。其原因就归
根于随机变量之间具体的联合性质的基本指标。尽管下面的表述看上去很深奥，但它
们最多不过是平方和而已，也就是(a＋b)2＝a2＋b2+2a b和(a-b)2＝a2＋b2-2a b这两个最
基本的公式。其中的a、b可能表示随机变量，也可以是它们的期望，或者它们对其期
望的偏差。由方差的定义，我们有：
s+c2= e[rs+c - e(rs+c )]2 （a - 1 2）
为了使式（a - 1 2）到式（a - 2 0）变得易于理解，我们以s、c脚标来表示随机变量，
然后以i来表示各种情景。在式（a - 1 2）中替换r(s+c)及其期望的定义式，有：
s+c2= e[rs + rc - e(rs ) - e(rc )]2
（a - 1 3）
在式（a - 1 3）中交换各变量的顺序，有：
2
= e[r- e(r) + r- e(r)]2
s+c ssc c
在平方的括弧里面，其实就是两个随机变量对其期望偏差的和，我们以d记之，即：
s+c2= e[( ds + dc )2] （a - 1 4）
式（a - 1 4）是一个完全平方和的期望。把平方展开，我们有：
s+c2= e(ds2+ dc2+ 2dsdc ) （a - 1 5）
式（a - 1 5 )括号由三个随机变量的和组成。由于和的期望就是期望的和，我们可
以把式( a - 1 5 )写成：
s+c2= e( ds2) + e (dc2) + 2 e(dsdc ) （a - 1 6）
在式( a - 1 6）中，右边的前两项就是股票收益的方差（即偏差平方的期望）加上
期权收益的方差。第三项就是协方差的两倍，该定义就在式( a - 1 7 )（注意期望要乘以2，
是因为随机变量两倍的期望等于随机变量期望的两倍）。
换句话来说，随机变量和的方差是方差的和再加上协方差的两倍。我们这里记协
方差为：
c o v (rs，rc)＝e(dsdc)＝e{ [rs -e(rs) ] [rc -e(rc)]} （a - 1 7）
协方差的值与表达式括号中两个随机变量的顺序无关。由于乘法计算与字母的顺
序无关。由式( a - 1 7 )协方差的定义可知字母顺序的改变不会影响协方差的值。
我们利用表a - 4中的数据作为原始输入数据来计算协方差。计算过程及结果如表
a - 5所示。
762 第八部分附录
表a-5 安休瑟-布希公司股票及期权收益相对于各自期望的偏差、
偏差平方及偏差加权积
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项目情景1 情景2 情景3 概率加权和
概率0 . 2 0 0 . 5 0 . 3 0
股票的偏差-0 . 1 4 -0 . 0 4 0 . 1 6 0 . 0 1 2 4
偏差平方0.019 6 0.001 6 0.025 6
看涨期权的偏差-1 . 5 0 -1 . 5 0 3 . 5 0 5 . 2 5
偏差平方2 . 2 5 2 . 2 5 1 2 . 2 5
看跌期权的偏差0 . 8 2 5 0 . 7 5 -0 . 6 7 5 0.275 628
偏差平方0.680 625 0.005 625 0.455 635 0 . 2 4
偏差乘积（dsdc） 0 . 2 1 0 . 0 6 0 . 5 6 -0 . 0 5 7
偏差乘积（dsdp） -0 . 115 5 -0 . 0 0 3 -0 . 1 0 8 -1.012 5
偏差乘积（dcdp） -1.237 5 -0 . 112 5 -2.362 5
首先，我们分析股票与看涨期权之间的协方差。在情景1或情景2中，两种资产都
表现出了对各自期望值的负偏差，这是正的同步性的一种反映。当两个负的偏差相乘
时，最终构成协方差的偏差积就会是正的。当随机变量变化方向一致，那么协方差就
趋于正，当随机变量的变化方向相反，那么协方差就趋于负。在情景3中，两种资产
都是正偏差，这更有力地表明了两者的同步性。偏差之积的大小程度，再乘以各个情
景的发生概率，然后加总，所得的结果就是协方差。它不仅能说明同步性的方向（通
过其符号），而且也能说明同步性的程度。
协方差是一个类似于方差的统计量。方差测度的是一个随机变量偏离其期望值的
程度，而协方差测度的是两个随机变量对其各自期望值偏离的同步性程度。对于资产
组合分析来说，有一个性质是很重要的，那就是一个随机变量与其自身的协方差等于
它的方差。如果你在式( a - 1 7 )中适当地