题方法了。
解题 比直线短
我们砌一道以三角形顶点为中心的弧形墙。
(图略)
按照下列方法可以求出弧长。
设三角形的高为h(m)、根据勾股定理
(算式省略)
因此，三角形的面积约等于4330(平方米)
把这个面积平均分成两份，并且设圆弧的半径是r(m)
(算式省略)
圆弧长l为
l=(算式省略)
答案
砌一道以三角形顶点为中心的弧形墙。
5、三个半圆的定理 20分
问题
把直角三角形的每一边作为直径画三个半圆，请问三个半圆之间的关系?
(图略)
提示
这是勾股定理的应用问题。
解题 三个半圆的定理
半圆p的面积+半圆q的面积
=(算式省略)
=(算式省略)
(根据勾股定理，由于(算式省略)，所以
=(算式省略)
=半圆r的面积
答案
半圆p的面积+半圆q的面积=半圆r的面积
(图略)
小知识
即使不是正方形、半圆形，只要是以直角三角形的各边做为图形的一部分的各种图形
都是相似的。
图形p的面积+图形q的面积= 图形r的面积的公式是永远成立的。
6、希波克拉底的定理 15分
问题
希波克拉底(bc450年左右)是希腊的哲学家。
[如图所示，把直角三角形的各边作为直径画圆时，请证明斜线部分面积的和等于直角
三角形的面积]。
(图略)
提示
这和三个半圆的定理很相似啊。
解题 希波克拉底的定理
三个半圆的定理是(p1+p2)+(q1+q2)=r
r是以c为直径的半圆的面积。
就右图(图略)来讲，
r=直角三角形的面积+(p2+q2)
因此
(p1+p2)+(q1+q2)
=直角三角形的面积+(p2+q2)
所以
p1+q2=直角三角形的面积
小知识
以直角等腰三角形的直角为中心，以直角边为半径，画四分圆；以三角形斜边为直径画半圆，得到月牙儿状图形。此月牙面积等于三角形的面积。
四分圆的面积=(算式省略)
半圆的面积=(算式省略)
因此
四分圆的面积=半圆的面积
两边同时减去三角形和斜线部分之间的弓形的面积，那么
直角三角形的面积=月牙儿的面积
(图略)
提高能力
圆 = 三角形?
(图略)
请在上面1～5图中选出唯一一个不同的图形。
你会说[这不是全部都不一样吗?] 本来是这样的。在[只有同样的图形才相同]的情况
时是这样。
[相似的图形也相同]这种见解也是成立的。这种时候1和2就成为一样的了。
可是不管是哪一种也选不出来只有一个不同的图形啊?为此，要用其他的方法去看图形
了。
在橡胶薄膜上画出图形，把薄膜抻长或缩短时就会变成三角形、四角形、椭圆形、及
圆形等各种形状。
对追求图形本质的新科学来说，抻长、缩短、歪斜、重叠等都可以看成是相同的。我们
把这个叫做同相。
只有5图，无论你怎样抻长、缩短、歪斜，因为无法变成其他的图形，所以5和其他图
形都不一样。因此，要是选出只有一个不同图形的话，只能是选5图了。
7、中心点在哪儿呢? 15分
问题
有个人想在圆盘的中心点钉上钉子挂在墙上。钉子如果不在中心看起来会不顺眼，所以
尽可能的找到准确的中心位置。工具只有一个直角尺。
那么怎样做才好呢?
(图略)
提示
直角尺是木匠使用的用金属折成直角形的尺。
解题 中心点在哪儿呢?
如图所示，把直角尺的直角合在圆周的一个点上，再找到两个直角边和圆的接触点，将
两点连线。按照同样的方法再另画出一条线，两条直线的交点就是圆的中心点。这是泰勒斯定理“直径的两端和圆周上的任意一点相连后形成的角是直角”的应用。
(图略)
小知识
由于三角形的内角和为180度，所以
(算式省略)=180度。。。。。。1
由于oa、ob、op是圆的半径，所以三角形oap和三角形obp是等边三角形。
由于等边三角形的两个底角相等，即
(算式省略)。。。。。。。。。。。。2
根据1、2， (算式省略)=180度
所以 (算式省略)=90度
由上列算式证明，角abp是直角。
第二部分第6节
8、反论(奇谈怪论)的篇章
“反论章节”的功能
有两个不同大小的蛋糕，媳妇和婆婆两个人吃。婆婆说“你先请吧。”
媳妇先拿大的去吃了。婆婆看到后说“要是让我先吃，我肯定会选那个
小的是吧。” 媳妇说“母亲，您有什么不满意的吗?这不是按照您所想的
拿了吗?”
反论智力题的内容是把反论做为教材的。可以考虑成是理论问题的变形。
因此，他们的效果几乎是相同的。只是反着说而已，更能锻炼人们的直觉判断能
力。
1、 谎言村的诚实者 15分
问题
诚实村的村民一定诚实，谎言村的村民肯定说谎。这两个村相邻，村民们常有往来。
正好有人来到了这里，可是不知道是哪一个村庄。要想知道是哪一个村庄，怎样问才好
呢?
(图略)
提示
由于两村的村民来回走动，即使随便找个人问也不知道是哪个村的。如果所到的村庄是
诚实村，你可以考虑一个诚实村和谎言村的人都一样回答的问题。
解题 谎言村的诚实者
来人问到[请问你是住在这个村里的吗?]，回答如下列表格所显示的那样，如果是诚实
村的人回答是肯定的，如果是谎言村的人回答也是肯定的。
询问的人 = 诚实 询问的人 = 说谎
诚实村 是 是
谎言村 不是 不是
2、你永远不会秃 5分
问题
[你的头发很多呀，拔掉一根你的头发吧。只是拔掉一根又不会有太大的影响。你不会秃顶的。
假设没拔头发时是第n回，拔掉一根头发后是第n+1回。我们确认了第n回的情况和后来只是拔掉一根头发的第n+1的情况完全是两种不同的秃顶情况。
于是，无论拔掉多少头发都不会变成秃顶的。所以，完全把头发拔光你也不会变秃顶的]
那么，要想避开这个反论应该怎么办才好呢?
提示
让我们好好考虑一下秃顶到底是怎么一回事?
(图略)
解题 你永远不会秃
如果明白秃顶的定义是什么，像这样的反论就不成立了。
比如说，我们明确了[头发在少于3万根以下的时候叫秃顶]这个定义以后，那么假设第n回的头发是3万根+1时，拔掉一根的n+1的情况下就变成了[秃顶]。
3、三角形的两边之和等于另一边 15分
问题
[设三角形abc的ab边的中心点为d、ac边的中心点为e、bc边的中心点为f。然后，连接各中心点d、f、e形成平行四边形adfe。
在这个平行四边形里，ad和ef的长度相等，ae和df的长度相等。因此，ab和ac的长度之和等于连接bd、df、fe、ec的曲线的长度。
下面也同样，曲线bdfe的长度等于曲线bghifjkl的长度。 再接下来还是同样。。。。。。，
经过无数次重复之后，这个像锯齿似的曲线就会和底边bc重合。所以，三角形的两边之和等于另外一边。]
那么，怎样能回避这个反论呢?
(图略)
提示
请用显微镜看。
解题 三角形的两边之和等于另一边
不管锯齿变得怎样细小，如果用显微镜看还是锯齿。不管怎样折叠弯曲，锯齿的长度还
是等于ab+ac。
底边bc是点b和点c之间最短距离是直线，不管锯齿变得怎样细小，即使看起来好像和直线完全重合了一样，也不会变成直线。
小知识
后来成为文艺春秋出版社社长的菊池 宽最讨厌几何和数学。看到[证明三角形的两边
之和大于另一边]的考试题出来时，竟然在答案上写到[这个证明就是，连狗都知道绕开走
]
欧几里得(bc330?～ bc275?)利用[线段的长短随着它所对应的角度而变。角度越大线
段的长度就越大]的定理作出了证明。
(图略)
4、所有的圆周都相等 15分
问题
[把盘子立在桌子上在不使其滑倒的情况下旋转一圈。于是，可以看到盘子的同心圆--
盘子的底部也在一同旋转。如果在不使盘子滑倒的情况下旋转一圈的话，就形成了圆。所以，大的圆也就是盘子的圆周和小的圆也就是盘子的底部的圆周长相同。也就是说，所有圆周的长度都相等。]
那么，怎样解决这个反论呢?
(图略)
提示
画一个图试一试。
解题 所有的圆周都相等
1在进入正题之前
设三角形abc的两边ab和ac的的中心点分别为m和n。
在bc上的任意一点d和a连接，在mn上的交点为p，那么d和p是1比1相对应
的。因此，bc上所有的点在mn上都有相对应的点。
并且，mn上所有的点在bc上也都有相对应的点。
也就是说，bc上的点和mn上的点都是1对1相对应着的。
然而，mn的长度是bc的一半。像这样不同的两条线上的点，即使每一个点都是1对1相对应，但是并不能说两条线就相等。
(图略)
2圆周长
如图所示(