以分成两个三角形。所以，四边形的内角和是 180度x2=360度。五角形可以分3个、六角形

分4个三角形。由于普通的n角形可以分成(n-2)个三角形，所以n角形的内角之和等于

180度x(n-2)(但是n大于等于3)

(图略)

3、三角关系 30分

问题

如图所示，在并排三个正方形内画三个三角形。这时，在角p、角q、角r之间会成为什么

样的关系?

(图略)

提示

很明显，角r=45度。

解题 三角关系

如图所示(图略)，和eh对称排列三个正方形，画三个三角形。

角ibe是直角(90度-角q+角q)，并且ib边和be边长度相同，所以三角形ibe是等边直角三

角形。

因此 角p+角q=45度

另外 因为角r=45度

所以 角p+角q=角r

答案

角p+角q=角r

小知识

阿拉伯的数字家萨必德·伊本·克莱(836～901)，由于对毕达哥拉斯的“ 勾股定理”只适用于直角三角形有不同见解， 所以，为了所有的三角形都能适用，他尝试着将其一般化。

在不是直角三角形的三角形abc上，从顶点a画线b'和c'至底边bc上，使角ab'b和角ac'c各自等于角bac。

于是 (算式省略)

因为 三角形bac、三角形bb'a、三角形cc'a是相似三角形，所以

bc:ac:ab=ac:cc':ac'

=ab:ab':bb'

在这里 (算式省略) 根据 (算式省略)

并且 (算式省略) 根据 (算式省略)

把两个算式相加足以证明了阿拉伯数字家的论点。

(图略)

提高能力

毕达哥拉斯三角形

直角三角形的时候，根据勾股定理，算式1成立。

(算式省略)。。。。。。1

把像算式(算式省略)这样的三个边长都是整数的直角三角形叫毕达哥拉斯三角形。试着做一

做，看看怎样把毕达哥拉斯三角形的三个边(a，b，c)代入公式，求出结果。

把1的两个边用b的平方来除的话，算式为

(算式省略)

因此 (算式省略)

在这里设 -- + -- = -- -- + -- = --

(相乘时得1。m是大于n的整数)

根据(前式)－(后式)得出

(算式省略)

a是整数时，b=2mn， 所以把毕达哥拉斯三角形的三个边(a，b，c)代入公式(m是大于n的整数)，即(算式省略)

(例)

a 3 5 15 7 21 35 9 45 11 63

b 4 12 8 24 20 12 40 28 60 16

斜边 5 13 17 25 29 37 41 53 61 65

4、爬在圆筒里的虫子 15分

问题

在高10cm的圆筒底部有一条小虫，我们假设这条小虫沿着与圆筒表面成30度角的一条直

线往上面爬行。

请问爬到上面要多少cm?

提示

和圆筒的半径没有关系。

解题 爬在圆筒里的虫子

我们可以考虑成小虫爬在高10cm 、角度为30度的直角三角形的斜边ab上面。

ab=10x2=20cm

(图略)

答案

20cm

小知识

如果不是圆柱、而是[高10cm的圆锥]的情形时是怎样的呢?

只要是以30度的角度在一条直线上行进，就和圆柱的情况一样。

5、封闭四边形 30分

问题

在平行四边形abcd外部取任意一点p。三角形abp和三角形dcp的面积之差是多少平方cm呢?

(图略)

提示

请参考平行四边形面积的求法。

解题 封闭四边形

如下图所示，把三角形abp的高设为h+h、三角形dcp的高设为h，那么

三角形abp的面积=底边abx高(h+h)除2

三角形dcp的面积=底边cdx高h除2

=底边abx高h除2

因此，两个三角形的面积之差是

三角形abp的面积-三角形dcp的面积

=底边abx高(h+h)除2-底边abx高h除2

=底边abx高h除2

由于底边abx高h等于平行四边形abcd的面积，所以

三角形abp的面积-三角形dcp的面积

=底边abx高h除2

=(算式省略)

(图略)

6、星形角之和 30分

问题

求星形尖端的角度之和。

(图略)

提示

请参考三角形的两个内角和等于另一角的外角。(图略)

解题 星形角之和

如图所示，现在我们把星形尖端角的度数设为角a、角b、角c、角d、角e。

(图略)

我们如果注意到三角形bgd的内角角b、角d的另一角的外角的大小等于角a+角d，并且三角形cef的内角角c、角e的另一角的外角的大小等于角c+角e。那么三角形afg的内角和用下列算式可以表示。

(算式省略)

答案

180度

7、摸壁竞赛 30分

问题

从点a出发到x、y的墙壁上摸一下墙，然后跑回终点b，比赛看谁跑得快。

怎样跑最先能到终点呢?而且，最近的距离是多少米?

(图略)

提示

可以考虑从终点b往回跑跑看。

解题 摸壁竞赛

我们可以考虑以y线为中轴，找出点b的对称点b'、再以x的延长线为中轴找出点b'的对

称点b"。

首先，从点a开始跑，到摸着墙壁x时是向b"的方向跑的，在点p处摸到墙壁x。

然后，从点p开始跑，到摸着墙壁y时是向b'的方向跑的，在点q处摸到墙壁y。最后，从点q朝着终点b跑。

结果跑的距离和从点a到点b"的距离相同。这是最短的距离。这个距离的长度根据三平

方定理可以得出是1300米。

(图略)

答案 1300米

第二部分第5节

7、圆的篇章

[圆的章节]的功能

为什么鸡蛋的形状接近球形呢?那是因为球形在表面面积相同的情况下，

可以有最大的内部面积。同样，圆形在周长相同的情况下，也可以得到最

大的内部面积。

那么接下来的问题就简单了。

国王给三个王子一根1000米长的绳子，让他们各自用绳子圈出自己认为是最大的土地

并且以此判断皇位的继承人。

首先大儿子圈出一个长400米、宽100米的长方形。

看到老大圈出的长方形，二儿子圈出一个边长为250米的正方形。国王看到后夸奖说

“和我想的一样”。

然而，继承王位的却是最小的儿子。那么小皇子是怎么圈的地呢?

圆的问题所达到的效果和三角形问题一样，都是在磨练我们对图形的感觉、直感能力

以及想象能力。

1、电车的内环线 15分

问题

山手线的外环线和内环线铁轨长度之差是多少米呢?我们设环形电车线路的半径是5km，外环线和内环线铁轨的中心线间隔是4m。(图略)

提示

请不要生气地说[半径是5km吗?真是乱讲]

[译者注:山手线是日本东京都市区内的环行电车，相当于我们的城铁。南北向长，接近椭圆形]

解题 电车的内环线

把内环线的半径解释为5km的话，

外环线铁轨的长度 = (算式省略)

内环线铁轨的长度 = (算式省略)

因此 外圈和里圈铁轨长度之差是

(算式省略)

按照圆周率=3.14

≒ 25

(算式省略)

所以 答案是大约25米。随便说的半径计算起来真方便呀。

答案 约25米

2、求斜线部分的面积 5分

问题

在半径为6cm的圆内画一个正六角形，请问斜线部分的面积是多少平方cm?

(图略)

提示

留意三角形。

解题 求斜线部分的面积

如图所示(图略)，三角形abc和三角形obc由于底边和高相等，所以面积相同。因此，斜线

部分的面积也就等于扇形obc的面积。我们把所求的面积设为s，则

s=(算式省略)

=(算式省略)

答案

(算式省略)

小知识

当给我们的不是角度而是[弧线的长度]时，试试看求扇形的面积s。

弧线的长度

s=圆的面积x---------- (图略)

周长

=(算式省略)

=(算式省略)

这个结果和高是r、底边为a的三角形的面积相同，真是感到不可思议啊。

3、银杏树 5分

问题

请求出图中4片银杏树叶的面积。设大圆的半径为2cm。

(图略)

提示

请注意看图中重叠部位的白色部分。

解题 银杏树

把银杏树叶的顶间部剪下来，补在正中间的白的地方。于是，银杏树叶就成为边长是

(算式省略)的正方形。(图略)

因此，所求面积为 8平方cm

答案

8平方cm

4、比直线短 20分

问题

有一块边长为100米的正三角形土地。

为了把土地分成两等份，要在中间砌一道墙，怎样才能使墙的长度最短呢?

(图略)

提示

为什么在圆的章节里出现三角形呢?如果不这样认为的话就已经找到解