808 0.0000 0.000047.5000 47.5000 43.8681
30.8867 5.6855 0.0000 0.000048.0000 48.0000 45.0886 34.4887
10.2918 0.0031 0.000048.5000 48.5000 46.3130 38.2349 17.1397
0.1347 0.000049.0000 49.0000 47.5404 42.0928 26.3576 2.2742
0.000049.5000 49.5000 48.7697 46.0270 37.5942 15.8655 0.07835
0.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.000050.5000
50.5000 51.2303 53.9730 62.4058 84.0345 99.921751.0000 51.0000
52.4596 57.9072 73.6424 97.7258 100.000051.5000 51.5000
53.6870
61.7651 82.8603 99.8653 100.000052.0000 52.0000 54.9114
65.5113
89.7082 99.9969 100.000052.5000 52.5000 56.1319 69.1133
94.3145
100.0000 100.000053.0000 53.0000 58.5573 75.7759 98.6646
100.0000 100.000053.5000 53.5000 58.5573 75.7759 98.6646
100.0000 100.000054.0000 54.0000 59.7602 78.7937 99.4349
100.0000 100.000054.5000 54.5000 60.9555 81.5828 99.7822
100.0000 100.000055.0000 55.0000 62.1421 84.1348 99.9236
100.0000 100.0000
表中的数据0.0000和100.0000是在取小数点后四位有效数字的情况下得到的。
由表4－2－1可以得出结论，在赢率为50％时赌博的赢率的性质发生了根本性的转折。在赢率小于50％时，赌博的赢率随游戏次数的增加变得越来越小，最终变成了0，0就意味着不可能，这个结论的确有些残酷，但它却是真实的。相反，只要赢率大于50％，那么，赌博的赢率随游戏次数的增加就会变得越来越大，最终变成了100％，100％就意味着完全的确定。
上述两种情况说明，似乎是不确定现象的赌博，随着游戏的进行，长期赌博的结果是完全确定的，n重贝努利试验从赢率的角度诠释了“久赌必输”和“久赌必赢”。
根据概率的不可能定理，可以编造这样一个故事：一只没有经过任何人工训练的猴子在钢琴上乱按，只要时间足够长，它最终可以弹出一首流利的莫扎特的《土耳其进行曲》。既然猴子都能弹出《土耳其进行曲》，那赌博的赢率再小，难道就没有谁碰到的时候？
赌博就犹如一场没有终点的旅行，开始了就很难结束。在负收益率时，赢赌场是一个小概率事件，而且时间越长，这个概率就越小，这是不同于猴子弹出《土耳其进行曲》的概率之处。对每一位赌客来说，都是想赢赌场的，但不管开始时是输是赢，都无法逃脱由负收益率所确定的“久赌必输”，一旦面临“输”字，似乎又应该继续往下赌才能捞回失去的金钱，但输钱的数字近似正比于所赌的时间，随着时间的不断增加，继续赌下去只会使他输得更多。在赢率小于50％的情况下，这是一个跳不出的循环，化不开的矛盾。我们通过对赌博的收益率研究得到了正收益率原则，对赌博的赢率的研究则更进一步印证了这一原则的正确性，结论简单而又直观，真实地反映了赌博中的规律，尽管其作用的方式比较抽象，但尊重事实按客观规律办事是一个理性人应有的素质，因此，知道收益率并坚持正收益率原则就是打败任何庄家的灵丹妙药。（上面的公式和表格贴出来后可能有点乱，暂时无办法做得更好，大家凑合着看吧）
第四节 策略
概率的方法是和直觉相对的，可以揭示一些表面上看不到的东西。赌博是基于概率的科学，因此正确的赌博策略也应该建立在概率的基础上，所有的赌博策略都应该经过严格的科学推理，而不是凭想象、凭感觉的主观臆断。
一 决策值
在赌场里，如果你对一种赌戏不知道该怎样玩，赌场的工作人员会告诉你可以怎样玩，至于具体的选择全在于你。那么什么样的选择才是正确的？又该如何来判断呢？
赌博其实就是一个决策的过程，要求赌客在“是”和“非”之间作出选择。要不要参与一种赌戏，或者说一种赌戏对赌客是否有利，是由这种赌戏的收益率决定的，这是赌博活动的总决策。假定赌客不管收益率的正负参与赌博活动，在游戏进行过程中可能遇到各种不同的情况，这些情况下赌客应该作出的决策的总和称为赌博策略。
通常，有中间过程的赌戏都存在着赌博策略，策略不同收益率也将发生变化。如二十一点、拉号子、百家乐等赌戏，游戏进行过程中会有各种可利用的信息，充分利用这些信息将有利于我们更正确地决策，从而影响游戏的结果，改善收益率。在后面的章节里我们会详细地研究。
而轮盘、掷骰子等赌戏，不存在中间过程，在下注和结果出现之间赌客对结果不能有任何作为，几乎没有策略可言，相应地，收益率也是一个几乎不变的数字，分析起来也最简单。叶汉听骰子掉下的声音判断骰子出几点的功夫不仅和声学有关，还和个人的听力有关，找轮盘的漏洞在轮盘上赢钱也属于数理统计的范畴。
赌博中正确的决策就是要在“是”与“非”之间选择收益icm最大的行为，以决策值valstr表示二者的差，则valstr ＝icmyes－icmno (4?3?1)
若决策值大于0选择“是”，若决策值小于0选择“非”。
由公式(4?1?2)，valstr ＝ e(ξyes)?ttlyes－e(ξno)?ttlno
为使研究更具有一般性，假设初始赌注为1个筹码单位，因此ttlno＝1，上式可简化为 valstr ＝
e(ξyes)?ttlyes－e(ξno) (4?3?2)
一般情况下系数ttlyes等于1，但玩有的赌戏，在某些情形下作出“是”的选择时，需要根据初始赌注增加赌注，这时的系数ttlyes就不等于1。例如，在二十一点中存在着分牌，在只能分一次的情况下，这个系数ttlyes等于2，如果可以分多次，就要大于2。在正确的策略下，增加赌注必然带来收益的增加，不过要注意，有时收益增加了收益率却并不一定增加，反而还可能减少，但由于赌注增加了，代表赌注与收益率乘积的收益大于赌注不增加时的收益，因此，这时作出“是”的选择也是有利的，公式(4?3?1)也适用于这种情况。例如，在二十一点中存在着赌倍的情况，在赌倍时，由于只能补一张牌，在很多情况下赌倍的收益率要小于补牌的收益率，但由于赌倍的收益还要乘以一个系数2，因此即使在收益率变小时赌倍也可能是有利的。
对于1赔1的赌戏，决策值可用赢率表示为valstr
＝（2?pyes－1）?ttlyes－(2?pno－1) (4?3?3) 决策值是收益的差，而单位赌注的收益在数值上等于收益率，如果在截然相反的两种决策“是”与“非”之间选择时赌注并没有改变，就可以用收益率的差来代替收益的差，这时， valstr
＝e(ξyes)－e(ξno) (4?3?4)
对于1赔1的赌戏，式(4?3?4)还可以进一步简化为valstr
＝e(ξyes)－e(ξno)＝2?pyes－1－(2?pno－1)＝2?(pyes－pno)
(4?3?5)
通过前面的分析，不难得出这样的结论：收益率在赌博中无时不在、无处不在，研究赌戏离不开收益率分析。
收益率分析的关键在于赔率值的概率的计算。在二十一点、百家乐等赌戏中虽然赔率关系简单，但由于输赢是通过比较大小来确定的，赔率值的概率计算相当复杂；轮盘、骰宝等赌戏的赔率关系虽然复杂，但由于输赢是由中与不中来确定，赔率值的概率只须简单的计算就能知道。下面研究如何计算前一类赌戏的收益率。
一般地，赔率值一般和牌点或牌组合出现的概率有关，赔率值的权是相应的点数或牌组合与对方所有更小（有时含相同）的点数或牌组合同时发生的概率之和，而赌博中的输赢是通过比较大小来确定的，通常是比较点数的大小或由牌组合所出现的难易程度决定的大小。 一般赌场的赌桌上都有赌规的简要说明，除写明了前面已经研究过的赔率值之外，有的赌戏还写明了其它一些规定。如二十一点中，庄家“16”点以下必须补牌，“17”点以上不能补牌；oasis
poker中，ak是否算对子等，这些限制虽然简短，三言两语，却与庄家的点数或牌组合的概率密切相关，根据这些规定就能计算出庄家的点数或牌组合的概率分布。因此，虽然在采取策略之前我们无法也不可能知道庄家的点数究竟是几点，但却可以知道庄家所有可能点数的概率分布，并记为pdlr1、pdlr2……pdlrn-1和pdlrn。其中我们默认下标数大的，其所代表的点数也大，并假定当点数一样大时谁也不输谁也不赢。
赌客的选择要似乎要宽松、自由得多，但不管是以什么作为选择决策的标准，赌客实际上都是在选择自己的点数或牌组合的概率分布，这就是赌博中的“是”“非”选择。以收益率作依据的选择是唯一的， 作出“非”的选择时，存在着一个赌客点数的概率分布，记为pno1、pno2、pno3……pnon，按照公式(4?1?1)，这时的收益率e(ξno)
＝0.5?odds1?pno1?pdlr 1＋odds2?pno2?(pdlr1
＋0.5?pdlr2)＋…＋oddsn-1?pnon-1?(pdlr1＋pdlr2＋…＋0.5?pdlrn-1)＋oddsn?pnon?(pdlr1＋pdlr2＋…＋pdlrn-1＋0.5?pdlrn)
－[0.5?pdlr1?pno 1＋pdlr2?(pno1
＋0.5?pno2)＋…＋pdlrn-1?(pno1＋pno2＋…＋0.5?pnon-1)＋pdlrn?(pno1＋pno2＋…＋pdlrn-1＋0.5?pnon)]
(4?3?6) 由于平点时不输不赢，在计算收益率时，平点的项本可不予考虑，但也可把平点看成是其中的一半输，一半赢，这就是式中系数0.5的由来。
当所有的赔率值都为1赔1时，式(4?3?6)中赔率值为+1的权就等于选择为“非”时的赢率pno＝0.5?pno1?pdlr1＋pno2?(pdlr1＋0.5?pdlr2)
＋…＋pnon-1?(pdlr1＋pdlr2＋…＋0.5?pdlrn-1)
＋pnon?(pdlr1＋pdlr2＋…＋pdlrn-1＋0.5?pdlrn) (4?3?7)
这时，可按照公式(4?2?1)计算收益率e(ξno)＝2?pno－1
作出“是”的选择时，也存在一个所有点数的概率分布，记为pyes1、pyes2、pyes3……pyesn，这时的收益率e(ξyes)＝0.5?odds1?pyes1?pdlr
1＋odds2?pyes2?(pdlr1
＋0.5?pdlr2)＋…＋oddsn-1?pyesn-1?(pdlr1＋pdlr2＋…＋0.5?pdlrn-1)
＋oddsn?pyesn?(pdlr1＋pdlr2＋…＋pd