的困难，让我们假定他只生产一种产品，或者说对于所有的产品来说，只存在着一套可以被用来对产量（以一种产品的单位计量的）加以表示的相对“价格”或“价值”。

在任一时点上，鲁宾逊·克鲁苏都有着多种可以进行的活动——即使用他的时间及岛上的各种资源的不同方法。他可以对可耕种的土地进行集约开垦或粗放开垦，他可以制作某种资本产品来帮助他的开垦，他可以去打猎或去钓鱼或者二者都做，等等，等等，无穷无尽。假定他选定了某项活动并开始进行。结果将是一定时期内的收入之流，即为i（t），这里i代表着单位时间上的收入，t代表时间。目前，他所进行的活动是t 0 ，当然，i（t）在（t＞t 0 时）并不是完全可知的——他所选定的活动的实际结果不仅取决于鲁宾逊·克鲁苏的所作所为，而且取决于下述随机事件：如天气，当他去钓鱼时周围鱼的偶然数最，他所种植的种子的质量，他的健康状况，等等。我们可以通过下述假定而将这一不确定性考虑进来：假定相对于每一种活动，都存在着一系列可能的将来收入之流，每一种可能的将来收入之流都具有己知的发生概率p

t 0 [i（t）]。这样一种收入之流的概率分布我们将称之为一种“预期”。

在任一时点t 0 上，鲁宾逊·克鲁苏可选择的各种预期，毫无疑问地取决于他过去的活动。而这依次地又可以被看作是前一阶段的类似选择的结果。如果我们愿意的话，我们可以将他想象为：在开始我们的分析的任一时点上（比如说当他踏上这个小岛的时候），他都在为他的余生制定一个简单的决策。对于所有的目的来说，这种概括程度可能不是十分理想的；对于某种目的来说，用冯·纽曼及摩根斯坦的术语来说，最好对个人的“行动”加以考虑，而不是完全地考虑个人的“策略”。然而，在我们目前的分析阶段上，可以对所有不必要的复杂情况予以排除。采用这一观点使我们得以去掉下标t 0 ，因为仅存在一套有关的预期，且每一种预期所包括的将来收入之流都是对同一时期而言的，也就是说，是从最初的开始点到无限的将来。

作为一种更进一步的简化（尽管是更为不可靠的），我们可以通过下述方法而用一个数来替代每一个i（t）：或者通过假定i（t）是一单变数家族的所有成员，比如说具有同一斜率的所有直线；或者通过以某一给定的利率而把将来收入贴现为初始点的价值，并将这些贴现收入相加以求得每一收入流的现值。而这两种假设之中的任何一个都可以确保每一i（t）为一数值所替代。我们假定这一数值为w，代表财富，且可以在不知道个人效用函数创的情况卜进行计算。

这些简化假设没意味着：在所讨论的某一行动的结果将是一小于w的财富值的概率一定的条件下，任一预期都可以完全地由一连续型概率分布p（w）所描述。令a’代表所有活动的集合，a代表其中的在一特定的活动，pa（w）代表与α相对应的预期。

效用是财富的一个增函数（在我们目前的公式中是用财富来替代收入）这一假设本身便足以排除某些预期。

如果

pa（w ≤ pa’（w）

（对于所有的w来说） （1）

且

pa（w）<pa’（w） （对于某些w来说）

那么，不论财富的效用函数的形状如何，a都明显地优于a’。令（削减后的）集合a由这样一些活动所构成从而使得与这些活动相对应的预期中没有一个满足方程（1）。从而，在集合a之中所进行的选择不仅仅取决于效用函数的一阶导数。

令 u（w）代表鲁宾逊·克鲁苏的效用函数。那么，按照预期效用假说，他将选择预期a从而使得 为最大值。这里，

(2)

除了对预期效用假说所作的这一重新表述以外，在目前这一概括水平上，关于这一特例所能阐述的东西甚少。

假定存在着许多完全相同的鲁宾逊·克鲁苏：他们面对着完全相同的活动系列及相应的预期，并彼此完全隔离。原则上，所有的人都将作出同样的选择——预期a * 。此外，如果任一鲁宾逊·克鲁苏的活动结果（他们实现了的w）都完全地独立于任一其他的鲁宾逊·克鲁苏的活动结果（另一个人的实现了的w），那么，pa * （w）将是实现了的、财富在他们之中的连续型分布情况.他们之中的收入“不平等”将部分地是精心选择的产品，且”不平等”的程度将部分地取决于对于他们来说是共同的这一效用函数的形状。如果这一效用函数是一直线时，那么每一个鲁宾逊·克鲁苏都将选择具有最高预期收入的预期；如果这一效用函数是处处下凹的话（即收入的边际效用递减），那么他将愿意牺牲某些预期收入来取得减小了的收入方差；如果这一效用函数是处处上凹的话（即收入的边际效用递增），那么他将愿意牺牲某些预期收入来取得增大了的收入方差，等等。给定一足够大且种类足够多的预期系列，这些鲁宾逊·克鲁苏之间的收入之“不平等”，在第二种情况中程度最小，而在第三种情况中程度最大。

然而，任一鲁宾逊·克鲁苏所实现的w

，不一定要完全独立于其他鲁宾逊·克鲁苏所实现的w。例如，尽管每一鲁宾逊·克鲁苏都不知道其他鲁宾逊·克鲁苏的存在，但是，他们所在的小岛可能都处于同一地理区域，处于同样的气候条件之中。在这种情况下，如果我们假定每一个人只作一种选择的话，那么，pa * （w）将不是财富在他们之中已实现的连续型分布情况。在彼此完全依存的极端情况下，所有的鲁宾逊·克鲁苏将实现同样的财富，所以，即使效用函数是处处上凹的，也可能会存在完全的平等。而在一些中间情况中，彼此依存的种类与程度影响着已实现的收入分布的形状，但并不影响效用函数的形状对不平等程度的影响方面的一般性结论。

2.社会中的个人 再分配是无耗费的

假定许多完全同一的鲁宾逊·克鲁苏建立起了彼此联系.现在，决定为每一个人所采取的活动的那些考虑已经出现了根本性的改变，因为，为实现所得产品的再分配而通过鲁宾逊·克鲁苏之间的联合预先协议来产生新的预期现在已经是不可能的了。在我们的社会中个人间普遍存在的许多安排都涉及到了这种再分配，所以，不一定要通过“政府”来假定共同行动的存在。公开卖出保险或进行投机的私人企业就是一些极端的且明显的事例。但是，下面这种现象则要很普遍：在我们的社会中，几乎每一个企业都部分地是改变财富的概率分布的一种安排。例如，假定一个鲁宾逊·克鲁苏将其自身作为一个包管他人“工资”、并取得剩余产品的企业家，但是，假定每一个人都打算去做他原先所要做的事，从而这一“企业”不具有任何通常的监督管理职能。这样一来，改变了所涉及的这些人可得的预期系列。的确，将“产生出”新的预期这一职能视为现代社会中的一个“至关重要的”企业职能是可以找到有力证据的，这里，“产生出”新的预期不是通过技术上的变化或改进来进行的，而是通过不确定性影响的再分配来实现的。

当然，一般说来，相互联系通过知识的传布而改变了与任一活动相对应的财富的概率分布，并通过产品的交换而使新的活动成为可能，从而影响到了劳动力的划分及职能的专业化的范围。然而，我们可以不考虑这些复杂情况，因为总体说来它们所影响的只是收入的可得水平，而不是收入的分配。所以，我们可以假定：仅通过相互联系的建立及产品的交换，尚不足以改变每一鲁宾逊·克鲁苏可得的收入的概率分布系列。

然而我们却无法将另一复杂情况如此轻松地置之一旁：即再分配安排中所存在的管理与控制费用。这些代价中最为重要的是此类安排对积极性的影响。与让某人自己承担火灾损失的全部费用的情况相比，如果他已进行房屋火灾损失保险，那么他拿出资源来防止火灾的积极性就较小。用我们的专用术语来说，就是，唯有当所研究的这一鲁宾逊·克鲁苏本人直接得到结果w的时候，活动α及与其相联系的概率分布pa（w）才是可以取得的.如果某一集团订立了这样的协议：每一个人将采用活动a，集合起所得到或产品，并进行分配（比如说平均地）。那么，实际实现的财富将截然不同于每一个人独立地采用活动a时所实现的财富情况——也就是说，事实上，这一集团中的个人将不会采用活动a。当然，这是为什么防范损失的完全保险唯有对那些大致地与个人行动相独立的危险来说才是可行的一个基本原因，也是为什么所有意在使个人所得与他们的生产贡献相脱离的作法都遇到了极大的困难，甚至于完全失败的一个基本原因。

我们将把这一复杂情况推迟到下一部分中去讨论。在这一部分里，我们将假定再分配安排不涉及任何费用，即不论个人是独立地行动还是进入再分配安排，活动集合a及与此相联系的预期pa（w）都是同样地可以实现的。这里，w代表着再分配之前个人所实现的财富，即他可以贡献到再分配总量中的份额。如果我们进一步假定任一鲁宾逊·克鲁苏所实现的w都完全地独立于其他人所实现的w，pa（w）运转得较好，且这些鲁宾逊·克鲁苏的人数是足够多的，那么，个人所采用的活动将仅取决于pa（w）的预期值，且财富在这些同一的个人之间的分配上的不平等，将仅取决于他们的偏好。在独立性及大数目一定的条件下，在将由任一共同的活动所实现的人均财富——财富的平均值或预期值——方面所存在的不确定性很小（其极限为0）。所以，值得采用人均财富最大的那种活动，原因在于这将使可供分配的总财富最大化，从而使总财富在各鲁宾逊·克鲁苏之间的分配能够以最优方式进行。更为正式地说就是，假定a * 是在前一段中的诸条件下为人们所采用的活动，并假定它将取得预期财富 ，而活动a ** 将取得更高的预期财富wa * 。假定人们达成了这样一种协议：每位克鲁苏将采用活动α ** ，将其所得产品贡献到公共积蓄中去，然后从中抽取原始收益，这一原始收益是由一给出他所得小于w的概率为pa * （w）的随机机制所决定的。很清楚，由于每个克鲁苏来说，这一原始收益预期与不存在再分配安排的a * 是同样具有吸引力的，而且现在， 乘以克鲁苏人数被留在了公共积累之中，以提供额外收益，所以，很明显，具有一适当时再分配安排的a ** 比a * 更为可取。基于同样的原因，很明显：永远存在着这样一种再分配安排，它将使某一具有较高预期财富的顶期优于任何具有较低预期财富的预期，而不论后者公否伴随着一种再分配安排t结论是：就我们所讨论的这一特殊情况来说，“大自然”所提供给人们的机会仅决定所实现的财富分配的均值；而财富之不平等则完全是一种人为的结果。

假定财富效用函数是处处下凹的。那么，财富的最优分配明显地是平均主义的。这些鲁宾逊·克鲁苏将把他们的财富汇积到一起，然后每人从中取走一定比例的份额。在另一极端下，假定财富效用函数是处处上凹的，那么，收入的最优分配明显地将是尽可能地不平等。这些鲁宾逊·克鲁苏将把他们的财富汇积到一起，然后每人得到一张彩券，这种彩券为每人赋予了赢得与总财富价值相等的这唯—一份奖品的同等机会。

我们要分析的一更为有趣、且在实证上更为相关的效用函数是有着这样一种形状的效用函数：这种形状是我与萨维奇为说明风险情况下关于行为的几种简单的、且广为接受的实证概括而提出的。我们所提出的函数最初是下凹的，然后上凹，最后又下凹，如图14·1中的u（w）曲线。

令 为最大的预期财富值（当每一个人都采用活动a ** 所实现的）。考虑一下这样一种预期：它是由w的两种价值w l 与w u 所组成的，从而有 ，且相关的概率为p与p u ，从而有 。与这一预期相对应的预期效用是由连结u（w l ）与 之弦在w点的纵坐标所绘出。从几何图形上看很明显：如果存在着一条与图14.1中的效用函数切于两点的直线，且如果w介于二切点的横坐标（我们可以用w 1 与w 2 来表示且w 2 ＞w 1 ）之间，那么，如果w l 与w u 分别等于w 1 与w 2 的话，则这一预期效用为最大。从而，相关的概率p l 与p u 将分别为 及 。我们将这一预期称作a d （d代表着“双重相切”）。

任一具有预期值 的更为复杂的预期，都总是可以表示为许多单值或双值的预期（每一预期都有着同样的预期值承）的一种概率组合。所以，这种更为复杂的预期的预期效用，可