题

请使用圆规和格尺把√2、√3、√4、√5标在一条直线上。

(图略)

提示

留意正方形的对角线。

解题 难画也要画

边长为1的正方形的对角线长度，根据勾股定理，应该等于√2。

即算式为 （12 + 12 = √22）

那么，长是1、宽是√2的长方形的对角线的长度、根据勾股定理应该等于√2。算式为

(算式省略)

那么，√5的长度也可以用同样的方法算出来。

答：

(图略)

小知识

如果不是在一条直线上，像下图那样用格尺也可以做成无理数。

(图略)

3、方程式的篇章

“方程式”的功能

在希腊的几何学中心，第欧范德斯)(246?--330?)在研究方程式

上面为后人留下宝贵的财富。人们为了歌颂他的丰功伟绩，在他的

墓碑上竟然刻着最古老的方程式的问题。

第欧范德斯生涯的6分之1在少年、12分之1在青年、又经过7分

之1后结了婚。结婚5年后有一个孩子，但是这个孩子在父亲去世的

4年前也就是父亲生涯的一半时去世了。

设第欧范德斯在x岁时去世

算式为： (算式省略)

x=84岁。 这个问题决不是什么难题吧。

在本章里所列出的方程式和这个问题同样，都是中学1、2年级的水平，决没有使用高难度的定理。可以说是算数的延伸。

然而，掌握思考的能力是非常有用的，逻辑性的思考是方程式的生命。

1、墨斗鱼、章鱼和海星各有几只? 15分

问题

有墨斗鱼、章鱼和海星共12只，总共有87只脚。

那么请问， 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只呢?

提示

墨斗鱼的脚是10只、章鱼的脚是8只、海星的脚是5只。

解题 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只?

把墨斗鱼、章鱼和海星分别设为x只、y只、z只。

头 数: x+y+z=12。。。。。。1

脚合计: 10x+8y+5z=87。。。。。。2

所以： y = (27-5x)/3

由于y是整数。所以必须用3除去 27-5x。因此，x=3

所以 y=4、z=5

答案

墨斗鱼3只、章鱼4只、海星5只。

小知识角

刚才我们计算过的[计算墨斗鱼、章鱼和海星]，是有名的鹤龟计算的应用。鹤龟计算的元祖是记载在3世纪中国的数学书[孙子算经]里面的。那时并不是鹤和龟，而是野鸡和兔子。

日本初次提到这类问题是在17世纪的[因归算歌]里，仍然是野鸡和兔子。

内容是[野鸡和兔子共有32只，数一数脚有94只。野鸡和兔子各有多少只?]

虽然用方程式很简单就能解题，但是在这里让我们用传统的假设方法做一做试试。

假设全部是野鸡的话，应该有64(32x2)只脚。由于实际有94只脚，比64只多出30只脚。

如果把这30只脚考虑成是兔子的前脚，那么兔子就有15（30÷2）只。

所以剩下的17只是野鸡。

从此以后，在日本有青蛙、犬、鸟等各种各样的动物陆续登场，最后好像一直到19世纪

前期(江户末期)定为鹤和龟了。

(图略)

（提高能力）

2次方程式的题解和公式

相加是13、相乘是36的两个数字是什么数?咋一看好像很难似的，其实很简单。用[急转弯]，首先我们考虑一下2次方程式ax2 + bx + c(a≠0)的解的公式。

把c移到右边、再用a除以两边。

(算式省略)

由于想做成平方的形式，要在两边加上(算式省略)。

(算式省略)

把左边变为平方的形式、就是

(算式省略)

根据这个算式，2次方程式ax2 + bx + c的2个解是、相加是(算式省略)、相乘是(算式省

略)。

也就是说开头的问题，相加是13、相乘是36的两个数字只要把2次方程式ax2 + bx + c解

开就行。从上列公式我们算出

x=4、9

本来这道题在使用解题公式前如果用因式分解来解题是最简单的。

x2 －13x + 36 = (x－4)(x－9) = 0

2、配错了的浓度是多少? 15分

问题

把20%的糖水和30%糖水混在一起，想配成24%的糖水，可是一不小心把比例弄反了。

请问配错了的糖水的浓度是多少?

(图略)

提示

本来打算配制的比例是多少?

解题 配错了的浓度是多少?

(图略)

本来打算配制的比例是

20%的糖水的量:30%糖水大量

=(24-20):(30-24)

=2:3

把配错了的糖水设为x%

本来应该按2:3配制，结果配制成了3:2。所以

(x-20):(30-x)=3:2

因此 x=26

答案 26%

3、球的大小 15分

问题

想把两个同样大的排球装在圆柱形的箱子里，装进去一看，像下图那样正好装满。圆柱

的底边直径为32cm，高为36cm

那么球的半径是多少cm呢?

(图略)

提示

画一个通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图看看。

解题 球的大小

像下图这样画出通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图。

(图略)

设球的半径为r(cm)

ab=2r

ac=36-2r

bc=32-2r

根据勾股的定理

(算式省略)

因此

(算式省略)

整理上式为

(算式省略)

由于 r小于32(圆柱的底边)，所以

r=10(cm)

答案 球的半径为10cm

4、最大的积是多少? 15分

问题

组合从0到9的数字，请排列出两组最大的积。每个数字只能用一次。

提示

两组数之和为一定时，两组数的差越小，其积也就越大。那么我们设两个组数分别为

a+b、a-b、就会得出

(a+b)(a-b)=a2－b2

所以可以得知 b=0时的积最大。

解题 最大的积是多少?

两组数的第一位数是9和8的情况下，两组数的差最小，积也最大。

下一位数是6和7，如果和9和8组合在一起，即 96和87。这两组数的差最小，积也最大。

(96-87=9、97-86=11)

同样，把接下来的位数4和5像964、875这样组合，两组数的差最小，积也最大。

再把下一位的数2和3像9642、8753那样组合，两组数的差最小，积也最大。

把最后的0和1也像96420、87531这样组合，由于两组数的差最小，所以积也就最大。

这就是我们想要的答案。

答案 96420和87531

5、同时打开 20分

问题

水槽上安装着3个水龙头。第1个龙头打开10分钟、第2个龙头打开15分钟、第3个龙头

打开30分钟后水槽里的水流完。

那么请问，如果把3个水龙头同时打开，经过几分钟水槽会空呢?

提示 注意每个龙头1分钟的流量。

解题 同时打开

设水槽里的水量为v，把第1个龙头、第2个龙头、第3个龙头打开时1分钟的流量分别设

为v1、v2、v3 于是有：

(算式省略)

设打开3个龙头后，水槽里的水流完的时间为t 于是

(算式省略)

答案 5分钟

第二部分第2节

6、牧草是边吃边长的 30分

问题

这是牛顿(1642～1727)想出来的问题。

把9头牛放牧在2英亩的牧场上，16天把牧草吃光。又把18头牛放牧在3英亩的牧场上，10天把牧草吃光。

那么请问，把35头牛放牧在5英亩的牧场上，多少天能把牧草吃光?

关于面积单位，我们假定放牧前牧草的量和每天牧草生长的量相同。并且每头牛每天吃

的牧草的数量也相同。

(图略)

提示

虽然用单纯的比例计算就可以求出结果，但是牧草在被吃掉的同时也是生长的，所以不是那么简单哪。

解题 牧草是边吃边长的

设在1英亩牧场里放牧前所生长的牧草量为u、每天生长的牧草量为v、一头牛每天吃

的牧草量为w， 那么

2u+16x2v=16x9w ……1

3u+10x3v=10x18w ……2

根据1x3-2x2、36v=72w 所以 v=2w

代入算式1， u=40w

那么我们把所求的天数设为t

5u+tx5v=tx35w

把 v=2w、u=40w 代入算式

200w+10tw=35tw

所以 t=8天

答案 8天

小知识

万有引力的发明者、微积分的创始人牛顿，非常喜欢猫咪。为了让猫咪出入自由，牛顿

在家里到处开了好多通道口。

猫咪在生小猫的时候，牛顿高兴极了。他让男仆在猫妈妈的通道口旁边开一些小洞。男

仆不明白为什么开这些小的洞，牛顿非常认真地“是小猫的通道口呀”。

7、13 + 23 + 33 + …等于多少? 30分

问题

(算式省略)

那么，(算式省略)等于多少呢?

提示

请注意n的立方可以用n个连续奇数的和表示。(例如:3的立方是3个连续奇数7、9